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Φ, la sezione aurea




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, la sezione aurea



Text Box: «La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa».
Keplero (1571 – 1630).

Vogliamo trattare di un numero, un numero misterioso, una proporzione geometrica in cui non ci si imbatte solo nello studio della matematica, ma anche in quello dell’arte, della musica e delle scienze naturali: questo numero è Φ (phi), 1,6180339887… .

Text Box: La definizione del rapporto aureo si fa risalire a tempi remotissimi:  i discepoli e seguaci di Pitagora l’avrebbero imparata addirittura dai popoli della Mesopotamia. Secondo il filosofo e storico Giamblico è Ippaso di Metaponto, che associa  ad esso il concetto di incommensurabilità, a divulgarne la natura anche «a chi non era degno di conoscere»*; questo gli procura il disprezzo dei compagni e la cacciata dalle associazioni pitagoriche.
* da Silloge delle dottrine pitagoriche,           300 d.C. circa, Giamblico


Definizione di sezione aurea.

Vediamo dunque definire questo particolare rapporto, conosciuto fin dall’antichità e che durante i secoli è stato indicato con nomi che rimandano all’oro, simbolo di quanto di più nobile, prezioso e inalterabile possa esistere: «rapporto aureo», «sezione aurea», «numero d’oro».


Storicamente la prima chiara definizione viene formulata da Euclide. Il matematico greco, fondatore della geometria in quanto sistema deduttivo, nel VI libro dei suoi Elementi scrive:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore».

sezione aurea2.jpg

Ne deriva quindi (in base alla figura) che il rapporto tra l’intera “linea retta” AB e il segmento maggiore AC è uguale al rapporto tra segmento maggiore AC e segmento minore CB.

AB/AC=AC/CB

Scegliendo come unità di misura il segmento più breve (CB=1) e indicando il segmento maggiore con x (in quanto x è un fattore sconosciuto, che sappiamo essere maggiore di 1), possiamo dire che x sta ad 1 come x + 1 sta ad x.

x /1 = (x + 1)/x

Risolvendo l’uguaglianza rispetto ad x si ottiene l’equazione di secondo grado:

x - x - 1 = 0

Le due soluzioni x1, x2 dell’equazione sono:

radici

La soluzione positiva x1= (1 + √­­5) / 2 è quella che fornisce il valore del cosiddetto “rapporto aureo”: 1,6180339887…, privo di sequenze ripetitive nelle sue infinite cifre decimali; numero irrazionale poiché è dato dalla metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5.

Text Box: All’inizio del XX secolo il matematico americano Mark Barr introduce, al posto del precedente simbolo τ , l’uso della lettera greca Φ (phi) per indicare la sezione aurea. Questo simbolo vuole rendere omaggio allo scultore greco Fidia: secondo molti storici dell’arte, nei suoi capolavori, come il Tempio di Athena Parthenos (il Partenone), egli ha spesso applicato volontariamente e con precisione il rapporto aureo.

Le proprietà di Φ.

Il perché questo numero abbia affascinato così tanto studiosi di tutte le discipline va ricercato, innanzitutto, nelle sue singolari proprietà algebriche, che troviamo riassunte in versi in questa poesia:

Media costante

La media aurea non è affatto banale



Tutt’altra cosa che un comune irrazionale.

Capovolta, pensate un po’, resta se stessa meno l’unità.

Se poi di uno la aumentate

Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.


Scritta come frazione con continuità,

è uno, uno…, fino a sazietà;

così chiara che più chiara alcuna non resta

(non vi comincia a girare un po’ la testa?)


Paul S. Bruckman, da “The Fibonacci Quarterly”, 1977.

Vediamo di chiarire meglio i concetti espressi da Bruckman.

Se capovolgiamo Φ, cioè ne calcoliamo il reciproco 1/Φ, il risultato che otteniamo è esattamente      Φ - 1. Se osserviamo l’equazione di secondo grado grazie alla quale abbiamo individuato il valore di Φ (x2 - x - 1 = 0), possiamo notare come questa si possa scrivere anche nella forma x2  = x + 1. Portando x a sinistra e dividendo per x entrambi i membri, abbiamo allora che

x - 1 = 1 / x

ciò che volevamo dimostrare.

È immediato intuire poi come il quadrato di Φ meno l’unità dia ancora una volta il valore di Φ

x – 1 = x.


Frazioni continue e Radici nidificate.

Considerando la prima proprietà su Φ che abbiamo mostrato possiamo dimostrarne un’altra. Dall’equazione x - 1 = 1/x troviamo un’ulteriore definizione della sezione aurea, ossia Φ Φ. Se sostituiamo, nella parte destra, al posto di Φ questa nuova espressione otteniamo                          Φ Φ ). Ripetendo lo stesso procedimento per più volte diamo origine a un caso particolare di un tipo di entità matematiche chiamate “frazioni continue”:


Vi sono numerose altre curiosità matematiche riguardo a Φ, ma mostreremo solamente un'altra equazione che, come l’esempio di frazione continua appena citato, ci fornisce il valore del rapporto aureo tramite un’espressione senza fine. Abbiamo già visto come, modificando la disposizione dell’equazione di partenza, possiamo scrivere che x2  = x + 1. Sapendo che x, cioè Φ è un numero maggiore di 0 possiamo estrarre la radice quadrata da entrambi i membri, ottenendo x = √1 + x. Seguiamo il procedimento dell’esempio precedente per ottenere una serie di “radici nidificate”:



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