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Differenziale di una funzione




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Differenziale di una funzione




1. Dimostrazione


  Sia una funzione reale, un punto in cui essa è derivabile; si indichi con un generico incremento della variabile indipendente e con il corrispondente incremento della funzione . Si ponga cioè:

Il rapporto incrementale della (1) potrà scriversi come:


  Poniamo:

Nella quale, evidentemente, si ha


  Moltiplichiamo adesso la (2) per , ottenendo:


Definizione: si chiama differenziale di una funzione relativo al punto e all’incremento , il prodotto della derivata per l’incremento

In simboli:


Quindi, applicando alla (3):


Dividiamo per




  E poiché , allora anche

Ciò significa che, se è una funzione derivabile, l’incremento e il differenziale di , relativi allo stesso incremento della variabile indipendente, differiscono per un infinitesimo di ordine superiore rispetto a , cioè

per un molto piccolo.


Differenziale (4).bmp2. Significato geometrico del differenziale













Nel triangolo si ha

Secondo il significato geometrico e goniometrico di derivata, . Quindi:

Allora il segmento rappresenta il differenziale della funzione in

Di conseguenza, quando la variabile indipendente passa da a

la funzione ha un incremento uguale alla lunghezza del segmento

la tangente in ha un incremento uguale alla lunghezza del segmento , e tale incremento è proprio il differenziale della funzione in



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