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Indici di posizione o medie




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RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DI VARIABILI STATISTICHE Occorre fare una distinzione



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INDICI DI POSIZIONE O MEDIE


Questa famiglia di indici serve ad individuare quella modalità o valore del carattere che è RAPPRESENTATIVO del fenomeno allo studio cioè lo sintetizza.


A)  MEDIA ARITMETICA




data la variabile statistica discreta con distribuzione di frequenze


Modalità Frequenze


X1 n1

X2 n2

. .

. .

xi ni

. .

. .

xk nk


Totale N


Essa è data da quel valore μ (mi) che lascia invariato l’ammontare totale del fenomeno, cioè

x1n1+x2n2+….+xini+….+xnnk=μN

k

∑xini = μN cioè μ = Σxini Media aritmetica ponderata

i=1  N


Data la serie di valori o la variabile statistica con frequenza unitaria il valore μ da cercare è sempre quello per cui:

x1+x2+…+xi+…+xk=

k

xini=k da cui μ= Σxi Media aritmetica semplice

i=1 k


  • Nel caso di distribuzione per classi si calcola il valore centrale di ogni classe ci

Ci= estremo superiore+estremo inferiore







Classi Frequenze valore centrale


x1—x2 n1 c1=x1+x2

2

x2—x3 n2 c2=x2+x3

2

. . .

. . .

xi—xi+1 ni ci

. . .

. . .

xk—xk+1 nk ck



totale

N

In tal caso la media aritmetica si calcola ponderando i valori centrali con le frequenze, cioè

k

μ = Σcini / N

i=1

Proprietà della media aritmetica:

μ è sempre compresa tra il valore più piccolo e quello più grande tra le modalità osservate, cioè

x1<μ<xk

2)la somma degli SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA è sempre nulla.

Definiamo SCARTO la differenza tra le modalità xi e la media μ nel caso di variabile discreta , tra i valori centrali ci e μ nel caso di distribuzione in classi.

Si calcolano tutti gli scarti

x1-μ, x2-μ,…..,xk-

oppure

c1- ,c2-μ,…..,ck-

la proprietà ci dice che

(x1-μ)n1+(x2- )n2+.+(xk-μ)nk=0

cioè scarti positivi e scarti negativi si compensano.

Dimostrazione

k k k

Σ(xi-μ)ni= xini- ni portiamo la μ fuori sommatoria

i=1 i=1 i=1

k k k k

=Σxini-μΣni poiché Σni=N si ha Σxini-μN= esplicitiamo μ

i=1 i=1 i=1 i=1


=Σxini- Σxini N=0 C.V.D.

i=1 N

3)la media aritmetica è l’unico valore che minimizza la somma dei quadrati degli scarti, cioè preso un qualsiasi altro valore c si può dimostrare che:

k k

(xi- )2ni ≤Σ(xi-c)2ni

i=1 i=1

dimostriamo considerando la somma dei quadrati degli scarti dalla costante c

k

Σ(xi-c)2ni aggiungiamo e sottraiamo μ

i=1

k

(xi- -c)2ni sviluppiamo il quadrato del binomio

i=1

a b

k

[(xi- -c)2+2( -c)(xi- )]ni

i=1

moltiplichiamo tutti i termini in parentesi per ni, scindiamo la sommatoria e portiamo fuori di essa i valori costanti

k k k

(xi- )2ni+(μ-c)2Σni+2(μ-c)Σ(xi- )ni

i=1 i=1 i=1


=0 per la 1°proprietà

in definitiva

k

(xi-c)2ni= (xi- )2ni+(μ-c)2N



i=1

quindi la somma dei quadrati degli scarti da una costante c è uguale alla somma dei quadrati degli scarti dalla media più la quantità (μ-c)2N che è certamente positiva.

k k

Conclusione► (xi-c)2ni> (xi- )2ni C.V.D.

i=1 i=1


4)Proprietà traslativa

Se le modalità xi sono tutte accresciute di una quantità costante a, anche la media aritmetica sarà accresciuta della quantità a:

k k k k k

Σ(xi+a)ni = xini+a ni = xini +a ni = +a

i=1 i i i i

N N N N

5)La media aritmetica delle modalità xi moltiplicate per una costante a è uguale alla media aritmetica delle xi moltiplicata per a, cioè:

k k

(xia)ni = a Σxini = a μ

i i

N N



B)  MEDIA GEOMETRICA

  • Se la variabile statistica è discreta

N n1 n2 nk N k ni

Mg = x1. x2. ….xk = xi     

i=1


  • Se la variabile statistica è divisa in classi

N N

n1 n2 nk k ni

Mg = c1.c2……..ck = ci

i=1

per rendere più agevole il calcolo si usa la seguente trasformazione:

n1 n2 nk 1

Mg= x1.x2……xk N



LEGGERE APPENDICE 1


Passando ambo i membri a logaritmo

n1 n2 nk 1

Log Mg = log x1.x2.xk N



n1 n2 nk

Log Mg = log x1 + log x2 ++ log xk

N

Log Mg =n1logx1+n2logx2+…….+nklogxk

N


Da cui calcolato il secondo membro dell’espressione posto pari a k il risultato si ha


Mg= 10k



PROPRIETA’ DELLA MEDIA GEOMETRICA:

1)il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi delle xi;

2)è quel valore che sostituito alle modalità xi del prodotto ne lascia immutato il valore, cioè possiamo scrivere

n1 n2 nk

MgN = x1 . x2 . …. xk

3)la media geometrica è sempre minore della media aritmetica

Mg ≤μ


C)  MEDIA ARMONICA

  • se la variabile statistica è discreta

Ma = N

n1 + n2 +…….+ nk

x1 x2 xk


  • se la variabile statistica è divisa in classi

Ma =      N

c1 + c2 +…..+ ck

n1 n2 nk


cioè essa è il reciproco della media aritmetica dei reciproci delle modalità.



D)  MEDIA QUADRATICA

È la media aritmetica dei quadrati delle xi

  • se la variabile statistica è discreta

Mq=Σ xi2ni

N


  • se la variabile statistica è in classi

Mq=Σci2ni

N


E)   MODA

È quel carattere che presenta la frequenza più alta, nel caso di variabile statistica discreta basterà guardare nella tabella individuando la modalità a cui corrisponde la frequenza più alta.

Nel caso di variabile divisa in classi occorre distinguere due casi:

se le classi sono di ampiezza uguale si individua la frequenza più alta e con essa la CLASSE MODALE, successivamente si procede cercando all’interno della classe modale il preciso valore della moda utilizzando la relazione seguente:


M0 = l1 + Δ1 . a


Δ1 + Δ2

Dove

l1→ estremo inferiore della classe modale

Δ1→frequenza della classe modale meno frequenza della classe precedente

Δ2→frequenza della classe modale meno frequenza della classe successiva

a→ampiezza della classe modale

ESEMPIO: calcolare la moda della seguente variabile statistica




Classi frequenze








osservando le frequenze la CLASSE MODALE è 5-8, poiché le classi non sono contigue come estremo inferiore l1 si prende 5-0,5=4,5



a=8,5-4,5=4

sostituendo si ha M0=4,5+   13 . 4 ~ 6,86

13+9


2)se le classi sono di ampiezza diversa si calcola per ognuna la densità di frequenza di=ni/ai (frequenza fratto ampiezza), la CLASSE MODALE è quella con la densità più alta, si procede come nel caso precedente considerando le densità al posto delle frequenze.

ESEMPIO: CALCOLARE LA MODA


Classi frequenze densità



18 18/4=4,5

15 15/3=5

12 12/3=4


la classe modale è 5-7 perché presenta la densità più alta per cui applicando la formula

M0=4,5 +   5 – 4,5 . 3 ~ 5,4

(5-4,5)+(5-4)


la Moda può non essere unica

*quando è unica diremo che la distribuzione è UNIMODALE

*quando ve ne sono diverse diremo che la distribuzione è PLURIMODALE cioè BIMODALE (se ci sono 2 mode), TRIMODALE (se ce ne sono 3), etc.


F)   MEDIANA

È quel valore che bipartisce la distribuzione

*se la variabile statistica è discreta

si calcola il valore N/2►se il numero di modalità è pari

N+1/2►se è dispari

si calcolano le frequenze cumulate fino al primo valore

Fi ≥ N/2 o N+1/2

la corrispondente modalità è la Mediana.

ESEMPIO: si calcoli la mediana della seguente distribuzione


Xi ni



3 15

5 30

6 18

8 40

11 22


totale 125


poiché le xi sono in numero dispari essendo N=125 calcoliamo la quantità N+1/2=125+1/2=126/2=63

cumuliamo le frequenze fino al primo valore ≥ 63:

F1=15, F2=15+30=45, F3=15+30+18=63

mi fermo perchè F3≥63 e individuo la mediana nella modalità corrispondente cioè Me=6


*se la variabile statistica è in classi con il precedente procedimento si individua la CLASSE MEDIANA, per individuare all’interno di essa con precisione la Me si utilizza la relazione

Me= le +   ae ( N/2 – Fe-1 )

ne

dove:

le►estremo inferiore della classe mediana

ae►ampiezza della classe mediana

ne►frequenza assoluta della classe mediana

Fe-1►frequenza cumulata della classe precedente


G)  QUARTILI

Distinguiamo tra:

PRIMO QUARTILE Q1 ►è quel valore che lascia al di sopra di esso gli N/4 della distribuzione e al di sotto gli N.3/4, in altre parole bipartisce la prima metà della distribuzione.

Il metodo di calcolo è lo stesso di quello applicato per la Mediana soltanto che si deve fare riferimento alla quantità N/4.

TERZO QUARTILE Q3 ►lascia al di sopra di esso i N3/4 della distribuzione e al di sotto gli N/4, an altre parole bipartisce la seconda metà della distribuzione.

Stesso metodo di calcolo con riferimento alla quantità

N3/4.

In relazione al concetto di quartile la MEDIANA è anche definita SECONDO QUARTILE Q2 perché bipartisce la metà centrale della distribuzione.


RAPPORTI STATISTICI

Si tratta di rapporti che mettono a confronto le frequenze o intensità dello stesso fenomeno in tempi e luoghi diversi.

Data una distribuzione statistica, tutte le frequenze o le intensità si rapportano con un termine comune che si definisce BASE.

Distinguiamo tra:

a)RAPPORTI A BASE FISSA ►quando la base al denominatore è sempre la stessa cioè costante. È il caso delle frequenze relative che si ottengono dividendo le frequenze assolute sempre per la stessa base N.

b)RAPPORTI A BASE VARIABILE O MOBILE►quando la base al denominatore varia da rapporto a rapporto.


Consideriamo come esempio una mutabile ciclica in cui le modalità sono espresse dagli anni di calendario e il fenomeno allo studio è ad esempio il tasso medio di inflazione π nei diversi anni, procediamo al calcolo dei due tipi di rapporti:




TEMPI INTENSITA’ INDICI A BASE INDICI A BASE

FISSA VARIABILE


1990 π0 π00.100 ____

1991 π1 π10.100 π10.100

1992 π2 π20.100 π21.100

1993 π3 π30.100 π32.100

1994 π4 π40.100 π43.100

1995 π5 . .

1996 π6 . .

1997 π7 . .

1998 π8 . .

1999 π9 . .

2000 π10 π100.100 π109.100




Nel caso dei rapporti a base fissa si evidenziano le variazioni relative avvenute rispetto alla prima modalità, nell’esempio le variazioni del tasso di inflazione rispetto all’anno di riferimento 1990.

Nel caso dei rapporti a base variabile si evidenziano variazioni di periodo in periodo nel caso in esame di anno in anno.


I rapporti statistici si distinguono in SEMPLICI e COMPLESSI.

Si conoscono diversi tipi di rapporti statistici SEMPLICI:

a)Rapporti di composizione o di parte del tutto

dati dal rapporto tra frequenza di una parte del fenomeno e ammontare totale del fenomeno.

Ad esempio: numero di occupati maschi per l’anno 78=14043, totale forza lavoro maschile del 78=14734, il seguente rapporto


14734

ci dice che nel 1978 la forza lavoro maschile era composta per il 95,3% da occupati e per il restante 4,7% da disoccupati.

b)Rapporti di derivazione

sono rapporti tra frequenza di un fenomeno e frequenza di un altro fenomeno che ne è il presupposto necessario. Esempi tipici sono: quozienti di natalità, di mortalità,…il cui presupposto è la popolazione.

c)Rapporti di durata

si usano per fenomeni collettivi che si rinnovano nel tempo con immissioni e/o detrazioni di unità statistiche, tipici esempi sono: abitanti di una nazione o di una città, depositi bancari, merce in magazzino.

Per questo tipo di fenomeni talvolta è utile calcolare la DURATA MEDIA DI PERMANENZA:

indicando con



C=consistenza media del fenomeno

U=elementi che escono

E= elementi che entrano

Il rapporto è dato da

D = C

U+E/2

Ad esempio: le quantità di caffè giacenti nei magazzini generali all’inizio e alla fine del 1977 sono state 85977 e 118498, le quantità entrate 581939 e quelle uscite 549418


D = 85977+118498 = 0,1807 anni

581939+549418

si procede così: 0,1807.365=66 giorni, cioè una partita di caffè resta in giacenza in magazzino per 66 giorni.


Analizziamo adesso i rapporti statistici complessi o NUMERI INDICI COMPLESSI.

Consideriamo il seguente problema : date s merci di un certo settore produttivo, si vogliono valutare le variazioni dei loro prezzi nel tempo.

Si costruisce una tabella di questo tipo:

righe→ tempo in anni

colonne→merci considerate

MERCI

TEMPI 1 2 …………i ………………………s


1990(0) p1,0 p2,0 …….. pi,0 …………………..ps,0

1991(1) p1,1 p2,1 …….. pi,1 ……… ps,1

1992(2) p1,2 p2,2 ……. Pi,2 ……….. ps,2

. . . …… . ………. .

. . . . .

(i) p1,i p2,i ….. pi,i …. Ps,i

. . . . .

. . . . .

(t) p1,t p2,t … pi,t … ps,t



per studiare le variazioni dei prezzi per l’intero settore economico si procede alla TOTALIZZAZIONE degli indici semplici, i procedimenti usati sono:

a)TOTALIZZAZIONE MEDIANTE IL RAPPORTO TRA MEDIE

per ogni anno si calcola la media aritmetica dei prezzi, cioè

anno 0 → p1,0+p2,0+…+pi,0+…+ps,0

s

anno 1 → p1,1+p2,1+…+pi,1+…+ps,1

s



anno t → p1,t+p2,t+…+pi,t+…+ps,t

s

successivamente si calcolano i numeri indici a base fissa o a base variabile costruendo i rapporti tra i prezzi medi nei periodi che si vogliono prendere in considerazione.


b)TOTALIZZAZIONE MEDIANTE LA MEDIA DEI RAPPORTI

si calcolano i rapporti semplici con base fissa in modo da ottenere per ogni anno tanti rapporti quante sono le merci

anno 1→ p1,1/p1,0 p2,1/p2,0 … pi,1/pi,0 … ps,1/ps,0




anno t → p1,t/p1,0 p2,t/p2,0 … pi,t/pi,0 … ps,t/ps,0


per ogni anno si calcola la media dei rapporti

ANNO 1


P1,1/p1,0+p2,1/p1,0+…+pi,1/pi,0+…+ps,1/ps,0 = INDICE DEI PREZZI

S AL TEMPO 1




ANNO t


P1,t/p1,0+p2,t/p2,0+….+pi,t/pi,0+…+ps,t/ps,0 = INDICE DEI PREZZI

S AL TEMPO t


I più noti indici dei prezzi sono:

INDICE DI LASPEYRES

Mette in relazione prezzi e quantità scambiate nel tempo mantenendo fissa la quantità scambiata al tempo base 0 cioè la quantità delle merci per i=1,2,…s data da qi,0

s

∑ pi,t qi,0

IL = i=1 = p1,tq1,0+p2,tq2,0+p3,tq3,0+….+ps,tqs,0

s p1,0q1,0+p2,0q2,0+p3,0q3,0+…+ps,0qs,0

∑ pi,0 qi,0

i=1

= valore monetario della produzione al tempo t

valore monetario della produzione al tempo 0




INDICE DI PAASCHE

Mantiene fissa la qi,t cioè le quantità scambiate al tempo finale t

s

∑ pi,t qi,t

IP = i=1 = p1,tq1,t+p2,tq2,t+p3,tq3,t+….+ps,tqs,t

s p1,0q1,t+p2,0q2,t+p3,0q3,t+…+ps,0qs,t

∑ pi,0 qi,t

i=1


INDICE DI FISHER


Si definisce anche Formula ideale ed è dato da


IF =      IL . IP



Esercizio: si costruisca la successione di numeri indici in base fissa 1970 e la successione di numeri indici a base mobile della seguente tabella


ANNI PIL




















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