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Analisi, algebra, topologia insiemistica e probabilità




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Analisi, algebra, topologia insiemistica e probabilità



Par. 1) Nuovi metodi di integrazione



Fino al secolo XX il metodo di integrazione più diffuso era l’integrale riemanniano, definito come sommatoria delle aree di rettangoli di base infinitesima:

che equivale alla notazione odierna:

Si deve al matematico Henri Lebesgue l’aver notato che l’integrale appena citato è applicabile solo in contesti limitati: se la funzione  possiede infatti molti punti di discontinuità, l’integrale di Riemann non è utilizzabile. L’integrale di Lebesgue introduce però una vera e propria nuova concezione di integrazione che prende forti distanze dalla concezione di Riemann.




Par. 2) L’algebra astratta

Nella concezione classica di algebra termini come x e y stanno ad indicare delle grandezze incognite che si cerca di scoprire mediante l’uso di equazioni. Con il ventesimo secolo tali simboli inziarono ad indicare non solo grandezze ma anche figure, enti generali, concetti. A seconda di cosa i simboli rappresentano è necessario rifarsi a degli assiomi ben determinati che cambiano da un ambito ad un altro.

La rivoluzione dell’algebra è dovuta fondamentalmente all’elevato grado di astrazione raggiunto dall’analisi all’inizio del 1900, che ha permesso di estendere i concetti a più enti matematicamente trattabili.




Par. 3) La topologia insiemistica

Si è precedentemente parlato di topologia combinatoria trattando di Poincaré. La topologia insiemistica nacque sostanzialmente dalle osservazioni del matematico Maurice Fréchet, il quale evidenziò che la teoria delle funzioni non poteva più prescindere da una più generale teoria degli insiemi. Così Fréchet si mise a studiare insiemi i cui elementi non erano necessariamente numeri, ma generici enti astratti (ad esempio curve o punti). Fréchet diede anche notevoli contributi al calcolo funzionale iniziando a studiare i funzionali: mentre una funzione è una corrispondenza tra due insiemi di numeri, un funzionale è una corrispondenza tra due insiemi di funzioni.

Altra figura fondamentale per la topologia insiemistica fu Felix Hausdorff, il quale elaborò la topologia degli insiemi di punti. Per spazio topologico Hausdorff intendeva un insieme E di elementi x e sottoinsiemi , noti come intorni di x. Tali intorni dovevano sottostare agli assiomi di Hausdorff.


ASSIOMI DI HAUSDORFF



A ciascun punto x corrisponde almeno un intorno U(x) e ciascun U(x) contiene il punto x;

Se U(x) e V(x) sono due intorni dello stesso punto x, deve esistere un intorno W(x) che sia sottoinsieme di entrambi;

Se un punto y giace in U(x) deve esistere un intorno U(y) che sia un sottoinsieme di U(x);

Dati due diversi punti x e y, esistono due intorni U(x) e U(y) che non hanno nessun punto in comune.


Assiomi così rigorosi consentirono ad Hausdorff di introdurre una definizione altrettanto rigorosa di continuità.




Par. 4) La teoria della probabilità e la sua fortuna nelle scienze

Altra branca della matematica che ebbe notevoli sviluppi nel corso del 1900 fu la teoria della probabilità. Alcune problematiche di tale disciplina erano già state evidenziate da Hilbert e nel XX secolo i matematici cercarono di completare la teoria rendendola più rigorosa. Interessanti sono le applicazioni della probabilità alla fisica e alle altre scienze naturali: molti fenomeni legati ai gas, per esempio, sono oggi descritti avvalendosi di questa branca della matematica.




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