Sviluppo critico della geometria

SVILUPPO CRITICO DELLA GEOMETRIA

Questo sviluppo si può far coincidere con la scoperta delle geometrie non euclidee. I tentativi di dimostrare il V postulato di Euclide, o delle rette parallele, ("per un punto esiste una e una sola retta parallela ad una retta data") avevano, fin dal XVIII secolo fatto intravedere la possibilità di costruire geometrie che non si fondassero su quel postulato. Il russo N. I. Lobacevskij fig.(17-b) realizzò teorie geometriche non euclidee e perfettamente coerenti. E. B. Riemann fig.(19-b) in una memoria del 1855 intitolata: Sulle ipotesi che sono a fondamento della geometria, mise in risalto come, variando opportunamente il V postulato, si potesse ottenere non solo la geometria di Euclide e di Lobacevskij, rispettivamente a curvatura uguale a zero o negativa (infatti vengono chiamate rispettivamente geometria piatta e iperbolica) ma persino una geometria a curvatura positiva, ovvero una geometria ellittica, successivamente denominata di Riemann. Al primo apparire delle geometrie non euclidee ci si era rifiutati di credere all'eguale validità di queste e si era pensato di chiedere all'esperienza il criterio per determinare quale delle geometrie possibili fosse quella vera; ma si vide che questo tentativo era impossibile poichè i metodi e gli strumenti con i quali si sarebbero dovute effettuare le misure relative avrebbero già presupposto la scelta di una geometria determinata. Si dovette così rinunciare al concetto di verità attribuito alla geometria nel senso di una corrispondenza di essa con la realtà empirica. Oggi si ammette che la scelta di una geometria piuttosto che di un'altra è una questione di pura comodità. Tutte sono dotate di verità logica dovuta alla coerenza intrinseca del loro linguaggio. Afferma Poincaré: "Gli assiomi geometrici Sono convenzioni. La nostra scelta tra tutte le convenzioni possibili è guidata da fatti sperimentali; ma resta libera ed è limitata soltanto dalla necessità di evitare la contraddizione." I postulati della geometria, dunque, sono analoghi alle ipotesi delle scienze naturali. Per questo motivo, come affermava del resto il filosofo Bergson, il procedimento logico-matematico, ovvero razionale, non può mai fare a meno dell'intuizione. "La logica, che sola può dare certezza, è lo strumento della dimostrazione, l'intuizione è lo strumento della sintesi." La scienza, in altri termini, è un sistema di relazioni. Nelle relazioni soltanto, dunque, va cercata l'oggettività; sarebbe inutile cercarla negli oggetti considerati separatamente gli uni dagli altri. Vi è, in questa concezione, un chiaro riferimento a Kant, fig.(18-b), per cui l'unico fondamento dell'oggettività scientifica è la relazione. Con la Relatività Generale, pubblicata da Einstein nel 1916, ci fu il primo esempio dell'impiego di una geometria non euclidea nella descrizione del mondo fisico. Le Kantiane intuizioni trascendentali si andavano via via rivoluzionando. Infatti se nella Meccanica Classica lo spazio, e come poi vedremo anche il tempo, è assoluto e rappresentato come un enorme scatolone nel quale si collocano gli eventi, cioè è considerato identico a se stesso per tutti gli osservatori, quasi come non facesse parte del mondo fisico, in Relatività lo spazio non è assoluto bensì dipende dall'osservatore e dal suo moto relativo ad altri osservatori. Mentre nel primo caso abbiamo un idea intuitiva di spazio che ci porta a descriverlo con la geometria euclidea, nel secondo caso, a causa delle velocità in gioco le quali non sono per nulla alla portata dei nostri sensi, lo spazio non solo non è assoluto ma si intreccia profondamente con il tempo, il quale assurge a livello di quarta dimensione, ed è descritto da geometrie ellittiche. Tutto ciò fa si che l'idea di spazio in Relatività non sia per nulla intuitiva.