La formula di taylor

LA FORMULA DI TAYLOR

Sia f(x) una funzione reale definita in un intorno I() del punto e derivabile in . Consideriamo la differenza

Osserviamo che essendo

(**)

Tale funzione ha in un infinitesimo di ordine superiore ad nel senso che tende a zero più rapidamente di quando .

Osservazione 1

È noto che in ogni approssimazione l'errore è definito da:

errore = valore vero - valore approssimato

conseguentemente rappresenta l'errore che si commette quando si assume e cioè quando si sostituisce il valore f(x) di f nel punto x con il valore in x del polinomio di primo grado .

Significato geometrico

Consideriamo il diagramma della funzione f e il punto di tale diagramma. È noto che la retta tangente a tale diagramma nel punto ha equazione

Conseguentemente rappresenta la differenza tra le ordinate del punto del diagramma e del punto ... della retta tangente

Si nota dalla figura che la distanza verticale tra la curva e la retta tangente quando x è abbastanza prossimo a è più piccola della distanza di x da e cioè risulta

per x abbastanza prossimo a

Conseguentemente, dal punto di vista geometrico, il limite (**).. Che la distanza verticale della curva della tangente a cioè la funzionetende a zero più rapidamente della distanza di x da quando x tende a

È facile convincersi che tra tutte le rette passanti per il puntola tangente in è quella che approssima meglio il diagramma nei punti x vicini a . Se vogliamo approssimazioni migliori dobbiamo utilizzare altre curve.

A tale scopo, invece della tangente, adoperiamo la parabola

Consideriamo la funzione

Applicando le regola di l' Hopital si ha

=

Dove certamente occorre supporre f derivabile una volta in un intorno I() die due volte nel punto .

Ne segue che tende a zero per più rapidamente di e cioè del quadrato della distanza di x da e si capisce che se x è abbastanza vicino a risulta < e dunque l'approssimazione ottenuta è migliore.

In generale, applicando ripetutamente n-1 volte la regola di l'Hopital si ottiene il seguente risultato

TEOREMA

Sia f(x) una funzione derivabile n-1 volte in un intorno di e n volte nel punto .

Considerata la differenza

Dove con il simbolo n! si intende il fattoriale di n e cioè il prodotto risulta

E cioè, come si suol dire, per è infinitesimo di ordine superiore a .

Ciò premesso si da la seguente

Definizione

Nelle ipotesi su f del teorema precedente, l'uguaglianza

Si chiama formula di Taylor della funzione f di punto iniziale .

Il polinomio di grado

Si chiama polinomio di Taylor di punto iniziale .

La funzione che rappresenta l'errore che si commette quando si assume si chiama resto di Peano della formula di Taylor.

Se la formula di Taylor si chiama anche formula di McLaurin.

Osservazione 1

È utile tenere presente che se f(x) e g(x) sono due infinitesime in in simboli

Che si legge f è un o piccolo di g in , esprime che f(x) è in un infinitesimo di ordine superiore a g(x) e cioè che risulti

Utilizzando questa definizione, posto in virtù del teorema precedente la formula di Taylor può riscriversi nella forma

E esprime che la funzione f(x) si può rappresentare in un intorno I() come somma del suo polinomio di Taylor e di un infinitesimo in di ordine superiore a

Osservazione 2

È facile verificare, calcolando le derivate della funzione considerate nel punto 0, che la formula di McLaurin di con n=3 sono:

Tali espressioni possono essere utilizzate per il calcolo dei limiti in forma indeterminata.

Utilizzando la formula di Taylor è possibile dimostrare il seguente risultato che può essere utile nelle applicazioni.

TEOREMA condizione sufficiente di estremo relativo)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell'intervalloe due volte nel punto V.s.i.

Dim

Consideriamo la formula di Taylor di f con n=2:

Tale formula, per le ipotesi, si può riscrivere nella forma

Dividendo per e passando al limite per , si ha

Conseguentemente, per il teorema della permanenza del segno,

L'uguaglianza è valida solo per .

Ma ciò significa, secondo definizione,che è un punto di massimo relativo per f.

Il teorema è dimostrato.