Funzioni a due variabili

FUNZIONI A DUE VARIABILI

DEFINIZIONE

Una funzione reale di due variabili reali è una legge , f , che permette di associare, ad ogni coppia di numeri reali (x;y), appartenente ad un dominio D, un numero reale z.

Essa si potrà scrivere come:

le funzioni a due variabili sono simili alle normali funzioni ad una variabile con la differenza che:

1. non lavoriamo più con il  piano cartesiano ma con un sistema di assi tridimensionali nello spazio;
2. la variabile indipendente non è più una (x) ma sono due (x,y);
3. il dominio di una funzione a due variabili non è da ricercare sull'asse delle ascisse ma sul piano R² .

RICERCA DEL DOMINIO

Volendo determinare il dominio delle funzioni a due variabili si usano le stesse tecniche utilizzate per la ricerca del dominio per le funzioni ad una variabile; ad esempio se

                      il dominio è D=R²;

La ricerca del dominio di una funzione si riduce spesso alla risoluzione di equazioni, disequazioni o sistemi di funzioni in due variabili. Per rappresentare graficamente il dominio sul piano cartesiano è necessario avere delle conoscenze di base della geometria analitica per riuscire a disegnare una o più coniche.

ESEMPIO

Calcolare il dominio della funzione ;

1. dalle conoscenze delle funzioni ad una variabile:

2. disegno ,sul piano cartesiano la circonferenza  e la retta ;
3. dalla prima disequazione  e dobbiamo considerare i punti interni alla circonferenza perché, preso un punto campione all'interno della circonferenza la disequazione è verificata, altrimenti avremmo dovuto prendere i punti esterni.
4. dalla seconda disequazione  dobbiamo considerare tutti i punti al di sotto della retta, dopo aver considerato anche qui un punto campione.
5. trattandosi di un sistema il dominio sarà dato dall'unione della parte di piano considerata al punto 3  e quella considerata al punto 4:

La parte colorata rappresenta il dominio della funzione data.

Dal disegno si nota che la circonferenza ha il tratto continuo mentre la retta è stata disegnata con tratto discontinuo. Questo perché se in una disequazione c'è il simbolo di minore o maggiore allora il tratto deve essere discontinuo altrimenti se c'è il simbolo di minore e uguale o maggiore e uguale il tratto sarà continuo. Geometricamente significa che se c'è il simbolo di uguale dobbiamo prendere anche i punti di frontiera. Quest'ultimi sono così definiti se, comunque si prende un loro intorno, ci sono punti che cadono all'interno e all'esterno del dominio.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Supponiamo di avere una funzione a due variabili  e vogliamo rappresentarla graficamente. I metodi che abbiamo a disposizione sono tre:

• rappresentazioni per punti;
• rappresentazione per linee di livello;
• rappresentazione per sezioni.

Il primo consiste nella sostituzione delle variabili x, y e z con valori numerici. Questo metodo è poco efficace perché per avere una buona rappresentazione grafica è necessario sostituire numerosi punti.

Le linee di livello o curve di livello di una funzione di due variabili si ottengono sezionandone il grafico con piani paralleli al piano xy.

Prendendo

• con  si risolve ;
• con  si risolve ;
• con  si risolve ;

• con  si risolve ;

questo metodo è lo stesso che viene utilizzato per le rappresentazioni topografiche delle alture ed è il metodo consigliato per la rappresentazione delle funzioni a due variabili.

La rappresentazioni per sezioni consiste nel rappresentare la funzione come se fosse vista su più piani, dal piano laterale, orizzontale, verticale, obliquo eccetera utilizzando quelle facciate che evidenzino meglio gli aspetti più interessanti della funzione o qualche preciso particolare.

LIMITI DELLE FUNZIONI A DUE VARIABILI

Anche per i limiti valgono le stesse considerazioni fatte per i limiti delle funzioni ad una variabile.

Una volta trovato il dominio della funzione possiamo calcolare il valore del limite utilizzando tutte le tecniche che conosciamo ma ricordando che in questo caso le variabili indipendenti sono due e non solo una.

Analiticamente possiamo scrivere:

oppure possiamo scrivere:

il disegno seguente può chiarire eventuali dubbi: