GLI INSIEMI (concetto e operazioni: no prodotto cartesiano)

Un insieme è un raggruppamento di elementi aventi una o più caratteristiche in comune. Un insieme si può considerare definito solo se si può decidere con certezza se un elemento appartiene a quell'insieme:

ES "gli alunni di una classe" formano un insieme;

"gli alunni simpatici di una classe" non formano un insieme perché la simpatia non è

definibile con un criterio oggettivo.

Gli insiemi genericamente si indicano con delle lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B, C.), mentre gli elementi di un insieme si indicano con lettere minuscole (a, b, c.).

Quando un elemento "a" fa parte di un insieme "A", si dice che "a appartiene ad A", che trascritto in simboli matematici diventa "a I A". Quindi I indica l'appartenenza di un elemento ad un insieme, mentre indica la non appartenenza di un elemento ad un insieme.

Gli insiemi possono essere rappresentati in 3 modi:

con un diagramma di Eulero-Venn (rappresentazione geometrica)    (ESEMPIO)

tabulare (o estensiva):     es. A=

mediante caratteristica (o intensiva):      es. A=

Un insieme si definisce vuoto quando non ha nessun elemento (es. numeri pari che finiscono con 3). Esiste un solo insieme vuoto che si indica: Ø o .

Due insiemi, invece, si definiscono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi: si indica con la scrittura: A= B. Al contrario, due insiemi si dicono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune.

Se si considera l'insieme:   A = . Gli elementi di questo insieme, se presi in N sono . Se invece gli elementi appartengono a Q, si dovranno anche considerare delle frazioni, come 7/2, 9/3 etc. Quindi occorre stabilire un insieme AMBIENTE o UNIVERSO da cui prendere gli elementi; esso è genericamente indicato con U. (es. grafico)

Se si considerano due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A, quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A, e si indica:    B A, che si legge "B è strettamente contenuto o è uguale ad A". Invece B A si legge: "B è incluso strettamente in A" o "B è un sottoinsieme di A, ma non coincide con A".  (esempio grafico di sottoinsiemi). Per indicare che un insieme A non è sottoinsieme di un insieme B si indica A B.

L'insieme delle parti (cioè, dei sottoinsiemi) di A si indica: P(A). Questo insieme avrà un numero di elementi uguale a 2 elevato al numero di elementi di A.

Ogni insieme ha come sottoinsieme improprio se stesso e l'insieme vuoto; quindi l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque altro insieme.

LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

L'UNIONE TRA INSIEMI

Si dice unione di due insiemi A e B l'insieme degli elementi appartenenti ad A, a B o ad entrambi.

Per indicare l'unione di due insiemi A e B si scrive:  A B.

Si può indicare, con la rappresentazione intensiva:    A B = .

Osservazioni:   

A B = B A

A (B C) = (A B) C (es. grafico)

L'INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Si dice intersezione tra due insiemi A e B, l'insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente ad A e a B e si scrive:   A B.

Si può scrivere con la rappresentazione intensiva:     A = .

Se due insiemi sono disgiunti la loro intersezione sarà vuota.

Per l'intersezione valgono le proprietà (osservazioni) definite con l'unione.

(es. grafico)

L'INSIEME COMPLEMENTARE

Si dice complementare di A, rispetto ad U, l'insieme degli elementi di U che non appartengono ad A, e si indica con C_uA o A.

Mediante rappresentazione intensiva si indica con C_uA =

N.B. il complementare del complementare di A è l'insieme A stesso. (es. grafico)

L'INSIEME DIFFERENZA

Si dice differenza di due insiemi A e B, che si indica con A - B, l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

Mediante rappresentazione intensiva si indica con:  A - B = .

N.B. Se A = B, A - B = Ø

(es. grafico)

PARTIZIONE DI UN INSIEME

La partizione di un insieme A è la divisione di quest'ultimo in un numero definito di sottoinsiemi che sono a due a due disgiunti e la cui unione forma tutto A. Il numero dei sottoinsiemi può essere infinito.