Caratteristiche degli N-poli

Una rete accessibile da N morsetti  (poli)1,2..,N  prende genericamente il nome di N-polo; una rete accessibile da N coppie (porte) di morsetti ordinati (1-1'),(2-2'),,(N-N') prende il nome di N-bipolo; una rete accessibile da N m-ple di morsetti (1-1'-1"--1^(m)),, (N-N'-N"--N^(m)) prende il nome N-m-polo Nel caso di una sola coppia di morsetti ordinati si ritrova il noto bipolo.

La caratterizzazione degli N-bipoli può essere effettuata a partire dalla  scelta della convenzione sulle singole porte (ad esempio può essere scelta per tutte le porte la convenzione dell'utilizzatore). Le singole porte possono poi essere alimentate con generatori di tensione o di corrente.

La caratterizzazione dell' N-polo viene in genere effettuata fissando per l'intensità della corrente elettrica un riferimento congruente su tutte le porte (ad esempio un riferimento entrante); poichè la rete rappresenta una struttura limitata, le intensità di corrente, supposto un funzionamento stazionario, sono tra loro dipendenti. Per il principio di conservazione della carica sarà infatti

                                (1)

Nella scelta della caratterizzazione dell'N-polo - su base corrente o su base tensione - si dovrà tener conto sia della (1) che della conservazione del campo elettrico stazionario.

Sono previste per i generatori due configurazioni fondamentali: nella configurazione concatenata i morsetti dei generatori sono collegati in sequenza tra i poli 1_2,2_3, 3_4.,(N-1)_N,N_1, nella configurazione stellata un morsetto del generatore è collegato al polo k e l'altro ad un morsetto esterno O (centro stella) in comune con gli altri generatori.

L'alimentazione in corrente non potrà prevedere quindi N generatori stellati di corrente di valore arbitrario I ,I ,.,I_N: l'N-mo è dipendente dagli altri N-1. Possono viceversa essere previsti N generatori arbitrari di corrente concatenati J ,J ,.,J_N1

L'alimentazione in tensione non potrà prevedere N generatori concatenati di tensione V ,V ,.,V_N1 di valore arbitrario, essendo nulla la somma dei loro valori. Possono viceversa essere previsti N generatori di tensione stellati E ,E ,.,E_N di valore arbitrario, collegati ad un centro stella esterno comune.

Ci limiteremo in questa sede alla caratterizzazioni di N-poli lineari passivi alimentati da generatori di tensione stellati. La caratterizzazione di N-poli lineari passivi alimentati da generatori di corrente concatenati risulta estendibile per dualità.

Le intensità delle correnti  I ,I ,.,I_N (dette anche correnti di linea) possono essere ottenute come somma dei contributi dei singoli generatori E ,E ,.,E_N (di valore arbitrario); tali contributi, trattandosi di rete lineare, sono proporzionali a valori E ,E ,.,E_N ; i coefficienti di proporzionalità sono omogenei a conduttanze e saranno indicati con G_jk, dove l'indice j si riferisce alla linea (al polo) e k al generatore di tensione stellata; per j=k tale coefficiente ha il significato ordinario di conduttanza equivalente ai morsetti del generatore k (quando gli altri generatori sono spenti) e, pertanto, prende il nome di conduttanza propria o autoconduttanza del polo j; nei casi in cui j è diverso da k, si parlerà di conduttanza mutua tra i poli j e k.

Le relazioni tra correnti di linea e tensioni stellate

I =G E +G E +.+G_1NE_N

I =G E +G E +.+G_2NE_N

(2)

I_N=G_N1E +G_N2E +.+G_NNE_N

può essere riscritta in forma matriciale

                     (3)

dove I rappresenta l'array delle correnti di linea ed E l'array (colonna) delle tensioni stellate. La (3) ricorda la legge di Ohm per il bipolo.

La matrice delle conduttanze

      (4)

gode delle seguenti proprietà :

ha rango inferiore a N ed il suo determinante è nullo: la matrice non è invertibile;

gli elementi della diagonale principale (autoconduttanze) sono quantità non negative;

le conduttanze mutue non possono essere quantità positive: se ad esempio G fosse positiva, si avrebbe, alimentando con un generatore E =1 V, una intensità di corrente positiva I secondo il riferimento entrante del polo 1; avremmo quindi, nella rete resistiva alimentata dal solo generatore E , un nodo interno a potenziale inferiore al potenziale del secondo morsetto del generatore, in contraddizione con la proprietà di non amplificazione delle tensioni;

per la proprietà di non amplificazione delle correnti, nel caso appena detto, l'intensità I non potrà mai essere superiore in valore assoluto alla intensità I ; si avrà quindi G_jk G_jj

il calcolo di G_jk e di G_kj si effettua su schemi reciproci, quindi G_jk=G_kj

considerando che la (1) deve valere qualunque siano i valori delle tensioni dei generatori stellati, si ricava dalla (2) che la somma di tutti i coefficienti di una colonna (e quindi di riga) è nulla[1].

In definitiva, il numero degli elementi "essenziali" di una matrice delle conduttanze si ottiene considerando che la matrice è simmetrica e che gli elementi della diagonale principale possono ottenersi a partire dalle conduttanze mutue di riga o colonna; esso vale quindi (N -N)/2 ossia N(N-1)/2 . Tale numero corrisponde alle combinazioni senza ripetizione di N elementi su due posti e quindi al numero di lati in un grafo ridotto completo con N nodi propri.

Possiamo quindi pensare di associare ad un N-polo una rete equivalente che si ottiene considerando un grafo ridotto completo attestato su N nodi, ciascuno corrispondente ad un polo; la figura che si genera viene chiamata poligono completo (ogni vertice è collegato a tutti gli altri vertici).

Si può facilmente mostrare che se si parte da un N-polo strutturato come poligono completo con resistori di resistenza Rjk tra i poli j e k, la conduttanza mutua Gjk di tale N-polo è pari a -1/Rjk.

In altri termini, vi è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi Gjk di mutua conduttanza tìdi un N-polo e le resistenze Rjk di un poligono completo di resistori. Quindi possiamo "trasformare" un N-polo qualsiasi in un poligono completo di resistori di N vertici[2].

Con riferimento a strutture a "stella", di fondamentale impiego nella distribuzione dell'energia elettrica, ci si chiede se è possibile trasformare un N-polo generico (o anche un poligono) in una stella di N resistori[3]. La condizione necessaria è che sia N(N-1)/2=N.

Tale operazione sarà quindi possibile solo nel caso N=3 (trasformazione triangolo-stella).

Trasformazione stella-poligono completo

Si abbia una stella di resistori di centro Y; sia R_io la resistenza del resistore tra il polo i-mo ed il centro stella.

L'autoconduttanza al polo i-mo si otterrà valutando la serie tra R_io ed il parallelo tra le rimanenti resistenze:

La conduttanza mutua G_ij si otterrà considerando il partitore di corrente

 

Queste espressioni permettono di costruire il poligono completo di resistori ()

Se N=3 abbiamo la trasformazione stella triangolo

Sommando le tre relazioni membro a membro abbiamo

da cui

che costituiscono la trasformazione triangolo-stella.

Se le tre resistenze della stella sono uguali (R =R =R =R_Y) anche le tre resistenze del triangolo sono uguali (R =R =R =R_D) ed avremo R_Y=R_D