LA GEOMETRIA IPERBOLICA di Bolyai-Lobacevskij-modello di Klein

LA GEOMETRIA IPERBOLICA di Bolyai-Lobacevskij-modello di Klein

Questa geometria "cancella" il quinto postulato di Euclide: "Fissati nel piano un punto P ed una retta r,non passante per P,esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta prefissata r"     (fig.10)

fig. 10

e pone al suo posto un altro postulato : "Esistono almeno 2 rette s e t passanti per il punto P e parallele alla retta r prefissata".

Questo postulato nega il quinto postulato in relazione all'unicità della parallela ad una retta condotta per un punto.

Essa sarà non contraddittoria se è possibile individuare un modello che soddisfi ai "normali" postulati scritti da Euclide e anche a questo nuovo postulato. Il modello cercato esiste e fu ideato da Klein.

Come enti primitivi si hanno:

• il piano di Klein costituito dalla superficie interna ad un qualunque cerchio (fig. 11)
• il punto di Klein costituito da un qualsiasi punto interno al cerchio (fig. 12 )
• la retta di Klein costituita da una qualsiasi corda della circonferenza (fig. 12)

fig. 11 fig. 12

Due rette di Klein sono incidenti se si intersecano in un punto di Klein. (fig. 13)

Due rette di Klein sono parallele se non hanno nessun punto di Klein in comune ma si incontrano in un punto localizzato sulla circonferenza. (fig. 13)

fig.13 fig. 14

Il nuovo postulato è soddisfatto perché,fissato un punto P di Klein e una retta r di Klein si possono trovare due rette di Klein s e t passanti per P e parallele alla retta r ( sono le sue corde s e t passanti per P e per gli estremi della corda r). (fig. 14)