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Integrale di riemann




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INTEGRALE DI RIEMANN



Definizione 1


Sia [a,b] un intervallo compatto e x0 ,x1, x2.xn (n eN) n+1 punti distinti di [a,b] tali che:



a=x0 < x1<. <xn =b.

Insieme Ordinato

P=

Si chiama una partizione dell'intervallo [a,b].


Osservazione 1


Si noti che la partizione P di [a,b] definito nella precedente definizione decompone [a,b] negli n intervalli compatti [x0,x1], [x1, x2]..[xn-1,xn ] i quali sono a due a deprivi di punti interni comuni e tali che la loro unione è uguale ad [a,b].


Premesso ciò consideriamo una funzione reale f limitata nell'intervallo [a,b] di definizione. Per ogni partizione P= di [a,b]


Poniamo:      mi =inf f(x), Mi =sup f(x) i=(0,..,n-1)

[xi ;xi+1] [xi ;xi+1]


E cioè indichiamo con mi l'estremo inferiore della restrizione di f all'intervallo [xi ;xi+1] e con Mi l'estremo superiore di tale restrizione.


Consideriamo le due somme (dette somme integrali inferiori e superiori

s(P)= m0 (x1-x0)+m1(x2 -x1)+.+mn-1(x n -x n-1)

S(P)= M0 (x1-x0)+M1(x2-x1)+.+Mn-1(x n -x n-1)


in altri modi:

s(p)= ; S(p)=

E' evidente che al variare della partizione P di [a,b] tali somme integrali descrivono due insiemi numerici che possiamo indicare con i simboli.

A=, B=

Tali insiemi numerici sono separati e quindi risulta:

S(P1) S(P2)

per ogni coppia di partizione di [a,b].

Conseguentemente, per l'assioma di completezza di R esiste almeno un numero reale che risulta maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B. Nel quale esista un unico elemento di separazione dei due insiemi A e B.

Posto ciò si da la seguente definizione.


Definizione di integrale(secondo Reimann)


Si dice che la funzione f limitata in [a,b] è integrabile (secondo Reimann) in [a,b] quando i due insiemi numerici A e B sono(oltre che separati) contigui e cioè ammettono un unico elemento separatore.

Quando ciò accade l'elemento separatore si indica col simbolo

e tale numero reale si chiama integrale di Reimann della funzione f esteso all'intervallo [a,b].

I numeri reali a e b si chiamano estremi di integrazione e la funzione f(x) funzione integranda.


Osservazione 2


Si noti che, in base alla definizione se f è integrabile in [a,b] risulta:

S(P) S(P) Per ogni partizione P dell'intervallo [a,b]

Si dimostra quindi il seguente risultato:


Teorema sull' integrabilità delle funzioni continue)


Una funzione reale f(x) la quale sia continua nell'intervallo [a,b] è integrabile in [a,b] secondo Reimann.


Osservazione 3


Si noti che se f è continua in [a,b] per il teorema di Weistrass, esistono in [a,b] il minimo m e il massimo M di f. Conseguentemente risulta:

m f(x) M     xe[a,b] e la funzione f limitata in [a,b].


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