Equilibrio dei corpi vincolati e forza peso: pendolo fisico

EQUILIBRIO DEI CORPI VINCOLATI E FORZA PESO: PENDOLO FISICO

In figura 2.8.1 è rappresentata una sbarra vincolata da un perno in tre posizioni diverse e sottoposta a forza peso. Dal punto di vista della gravità, questo semplice sistema fisico è equivalente ad avere una massa puntiforme uguale a quella della sbarra concentrata nel baricentro e collegata al perno da un'asta senza peso: siamo insomma in presenza di un pendolo fisico ovvero di un oggetto fisico esteso (non puntiforme) il cui comportamento è assimilabile a quello di un pendolo (il pendolo come l'avevamo studiato era un oggetto puntiforme appeso tramite un filo senza massa). Delle tre posizioni disegnate solo quella centrale corrisponde all'equilibrio:

qui l'equilibrio traslazionale è, al solito, garantito dalla forza di reazione vincolare presente nel perno (e non disegnata), mentre quello rotazionale è dovuto al fatto che la forza peso ha momento nullo essendo zero l'angolo tra la forza e la linea perno-forza (la reazione vincolare ha pure momento zero perché applicata nel perno).

Quando è spostato a destra o a sinistra l'angolo tra forza peso e linea perno-forza è diverso da zero per cui esistono momenti orari e antiorari che tendono a riportare la sbarra nella posizione di equilibrio.

Potremmo dunque dire che una condizione di equilibrio per i corpi vincolati e sottoposti alla forza peso è questa:

si ha equilibrio quando forza peso e vincolo sono sulla stessa verticale     (C1)

Forza peso e vincolo sarebbero allineati, però, anche se la sbarra della figura venisse ruotata di 180°:

in questo caso, comunque, una ulteriore piccola rotazione a partire da quella posizione tenderebbe a riportare la sbarra in basso, verso la posizione di equilibrio disegnata.

Diciamo allora che per avere un equilibrio stabile, oltre alla (C1), si deve verificare quest'altra condizione:

il baricentro deve essere nella posizione più bassa possibile tra quelle che possono essere assunte (C2).

Se per un corpo vincolato valgono sia (C1) che (C2) diciamo che il corpo è in equilibrio stabile; se vale solo la (C1) diciamo che si trova in equilibrio instabile e che una piccola perturbazione tenderà a portare il corpo nella posizione a baricentro più basso.

Se, poi, il vincolo fosse posto nel baricentro, l'allineamento tra i due sarebbe sempre garantito (C1) e non ci sarebbe alcuna posizione preferenziale che abbassi il baricentro: il corpo tenderebbe allora a rimanere dov'è in qualunque posizione sia stato messo (equilibrio indifferente).

ESEMPIO: DETERMINAZIONE DEL PERIODO DI UN PENDOLO FISICO

Riferendoci alla figura 2.8.1, supponiamo che la sbarra sia lunga 2 metri e che il perno si trovi a 10 cm da un'estremità. Vogliamo trovare il periodo del pendolo fisico associato.

Sappiamo che il periodo è dato da

T = 2 p (l/g)

quando si consideri una massa puntiforme appesa con un filo di lunghezza l.

Abbiamo detto che la sbarra è equivalente ad una massa puntiforme posta nel baricentro; poiché la sbarra è simmetrica il baricentro si troverà a metà (1 metro dall'estremità) ad una distanza pari a (1-0,1 = 0,9) dal vincolo. Il periodo sarà dunque:

T = 6,28 (0.9/9.8) = 1,9 secondi.

Considerazioni analoghe a quelle per i pendoli possono essere fatte per discutere l'equilibrio di una torre pendente:

il punto d'appoggio della torre fa da perno e, sino a che la forza peso applicata nel baricentro giace entro la base della torre, esiste un momento (antiorario nel caso della figura 2.8.3) che tende a riportare la torre verticale; quando il baricentro "esce" dalla base, si ha un momento (orario nel caso della figura) che tende a far cadere la torre.

Nei giochi per bambini "sempreinpiedi" la base del gioco è così larga e il baricentro così basso che è praticamente impossibile far uscire il baricentro dalla base e far cadere l'oggetto; la nuovissima Mercedes "Classe A" invece, prima delle recenti modifiche, avendo il baricentro piuttosto alto, aveva problemi di stabilità che la portavano a ribaltarsi durante particolari manovre (nella "manovra dell'alce" l'auto si inclinava parecchio sul lato e il baricentro alto usciva dalla base).