Funzioni convesse e concave. punti di flesso

FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO

Abbiamo visto che la nozione di estremo relativo è molto importante per lo studio del diagramma di una funzione. Vogliamo ora occuparci di altre due considerazioni del diagramma che non sono meno importante.

Definizione 1

Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo, in tale ipotesi il diagramma di f è dotato di retta tangente in ogni punto di .

Si ha che f è convessa inquando in ogni punto accade che il diagramma di f è al di sopra della retta tangente nel punto di ascissa .

Analogamente si dice che f è concava in se in ogni punto accade che il diagramma di f è al di sotto della tangente nel punto di ascissa .

Osservazione notevole

Ricordando che l'equazione della retta tangente al diagramma di f nel punto è

Possiamo affermare che:

Definizione 2

Sia f(x) una funzione derivabile nell'intervalloe un punto interno ad cioè . Si dice cheè un punto di flesso per la funzione f o anche che il punto è un punto di flesso per il diagramma di f quando accade che f(x) è concava in e convessa in o viceversa.

Osservazione

Si noti che se è un punto di flesso per f allora esistono punti di diversi da in cui il diagramma di f sta al di sopra della tangente in e punti di diversi da in cui il diagramma di f sta al di sotto della tangente in . Conseguentemente la tangente di flesso attraversa il diagramma.

Osservazione

Nelle applicazioni può capitare che il diagramma di f abbia l'andamento in figura e cioè sia convesso in e concavo in e la tangente di sia verticale, evidentemente in tal caso risulta e si dice che la funzione f ha in un flesso a tangente verticale e la retta di equazione si chiama retta tangente di flesso. Naturalmente tutto ciò vale anche quando viceversa, in f è concava e in f è convessa.

CRITERIO DI CONVESSITA' (senza dimostrazione)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell'intervalloe due volte in . V.s.i.

Da questo teorema si deduce immediatamente il seguente risultato.

TEOREMA (condizione necessario di flesso)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell'intervalloe due volte nel punto. V.s.i.

Dim

Se è un punto di flesso, per il criterio di convessità e per il criterio di monotonia la derivata risulta crescente in e decrescente in o viceversa. Conseguentemente è un punto di estremo assoluto e quindi anche di estremo relativo per . Dal teorema di Fermat applicato alla funzione f' segue la tesi.

Osservazione

L'implicazione incontrata in questo teorema non si inverte. Ad esempio la funzione è convessa in tutto R perché risulta . Tuttavia risulta ; la derivata seconda si annulla nel punto zero che non è di flesso.

Osservazione

Dalle considerazioni svolte in questo paragrafo si deduce che lo studio del segno della derivata seconda di una funzione f consente di determinare la concavità, la convessità e i punti di flesso del diagramma. I punti di flesso a tangente non verticale sono da ricercare tra i punti interni all'intervallo di definizione di f nei quali la derivata seconda si annulla. Se in un punto risulta e inoltre la derivata seconda è minore di zero a sinistra di e maggiore di zero a destra allora è un punto di flesso per f. naturalmente si giunge alla stessa conclusione se a sinistra di   e a destra .