I numeri perfetti e i numeri amicabili

Ogni  numero è scomponibile in un unico modo come prodotto di numeri primi, tuttavia esistono anche particolari numeri, detti perfetti, che sono uguali anche alla somma dei loro divisori, escluso il numero stesso. Per esempio 6 è divisibile per 1, 2 e 3, e 1 + 2 + 3 = 6, quindi 6 è un numero perfetto. Anche 28 è un numero perfetto, infatti i suoi divisori sono: 1, 2, 4, 7, 14, e 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Lo studio di questi numeri non è ancora completato, si sa che ne esistono infiniti, il loro insieme ha naturalmente la cardinalità del numerabile (vedi infinito). Tuttavia fino ad oggi sono stati scoperti solo numeri perfetti pari e non si sa se ne esistono di dispari. Dei numeri perfetti pari si può dire che terminano tutti con la cifra 6 o con le due cifre 28, inoltre sono tutti ricavabili da questa formula: se 2^n - 1 è un numero primo allora (2^(n - 1))*(2^n - 1) è un numero perfetto; questo metodo era già noto ai tempi di Euclide.

Dai numeri perfetti si può arrivare ai numeri eccedenti, dove la somma dei divisori di un numero è maggiore del numero stesso e ai numeri difettivi, dove la somma dei divisori di un numero è minore del numero stesso. Si sa che esistono infiniti numeri di entrambi i tipi, tuttavia se andiamo ad analizzare i così detti numeri lievemente eccedenti, quei numeri dove cioè la somma dei divisori supera di 1 il numero stesso non se ne trova nessuno, anche se non c'è dimostrazione di questo fatto, al contrario tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi. Si noti che un numeri perfetto è dunque, a patto che si tratti di un numeri perfetto pari, sempre il prodotto tra un numero primo e un numeri lievemente difettivo. Si pensa, ma non è nulla di certo, che i numeri lievemente eccedenti siano in qualche modo legati ai numeri perfetti dispari, sia nella loro inesistenza, sia nella loro, ipotetica, esistenza.

I numeri amicabili, o numeri amici, sono dei numeri che hanno qualche affinità con i numeri perfetti: infatti due numeri si dicono amicabili quando la somma dei divisori di una è uguale all'altro e viceversa. Si sa che esistono infinite coppie di numeri amicabili, tuttavia non si conosce un procedimento per scoprirle.

Ecco qualche esempio di numeri amicabili

Oltre ai numeri amici esistono anche un altro tipo molto particolare di numeri, detti socievoli. Tre o più numeri sono detti socievoli se, una volta messi in una sorta di cerchio, i la somma dei divisori di uno è uguale al successivo, così sommando i divisori del primo si ottiene il secondo, sommando i divisori del secondo si ottiene il terzo e sommando i divisori dell'ultimo si ottiene il primo. Un esempio è dato dai seguenti cinque numeri 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264. Non esistono infiniti insiemi di numeri socievoli, ma ne esistono solo un certo numero ben determinato, la cerchia più grande comprende ben 28 numeri, il primo dei quali è 14.316.