Alcuni teoremi sulle funzioni continue in un intervallo

ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I qualsiasi e siano due punti di I tali che . Essendo il diagramma di f(x) una curva priva di interruzioni perché priva di discontinuità è intuitivo che il pezzo di diagramma di f che si presenta nell'intervallo deve intersecare l'asse x in qualche punto.

Siccome i punti in cui un diagramma interseca l'asse x sono i punti in cui la funzione si annulla possiamo affermare che la funzione f(x) nell'intervallo deve annullarsi in qualche punto.

Naturalmente questo ragionamento non può valere come dimostrazione perché non è stata data una definizione quantitativa della continuità, tuttavia è una qualificazione intuitiva del seguente importantissimo

Teorema degli zeri

Una funzione f(x) la quale sia continua in un intervallo compatto e che assume valori di segno opposto negli estremi di si annulla in almeno un punto interno di.

Vale cioè la seguente implicazione

f continua in e

Rinviamo la dimostrazione per motivi di brevità.

Utilizzando il teorema degli zeri dimostriamo il seguente

I teorema di esistenza dei valori intermedi

Una funzione f continua nell'intervallo compatto assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Dim.

Se il teorema è vero perché la funzione assume l'unico valore.

Viceversa supponiamoe consideriamo al funzione ausiliaria

       

con.

Essendo e , per il teorema degli zeri esiste un punto tale che e cioè tale che . Si conclude che f(x) assume il valore . Dall'arbitrarietà di segue la tesi.

Consideriamo, ancora, il diagramma di una funzione f continua in un intervallo compatto. Essendo tale diagramma privo di interruzioni è quantitativamente evidente che esistono almeno due punti tali che e . Tali punti si dicono rispettivamente punti di minimo e punti di massimo.

Naturalmente tutto ciò è una considerazione di carattere quantitativo e non una dimostrazione del seguente importantissimo risultato.

Teorema di Weierstrass

Una funzione f continua in un intervallo compatto è dotata di minimo e di massimo.

In altri termini vale la seguente implicazioni

f continua in

dal teorema di Weierstrass e dal I teorema di esistenza dei valori intermedi si deduce la seguente proprietà.

II teorema di esistenza dei valori intermedi

Una funzione f continua in un intervallo compatto assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

Dim.

Se il minimo è uguale al massimo la funzione è costante e il teorema è vero. Viceversa, indichiamo con un punto di minimo e con un punto di massimo. Per il primo teorema dei valori intermedi applicato all'intervallo compatti di estremi e si ha che f(x) assume tutti i valori compresi tra e , e quindi tra il minimo e il massimo.

Osservazione

Questo teorema si generalizza. Infatti si può dimostrare che una funz. f continua in un intervallo I qualsiasi assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e il suo estremo superiore. Congruentemente ogni funzione continua in un intervallo ha per codominio un intervallo.

Sussiste, infine il seguente risultato che non dimostriamo.

Teorema di continuità della funzione inversa

La funzione inversa di una funzione f continua e strettamente monotona in un intervallo compatto è a sua volta una funzione continua e strettamente monotona.