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La Musica è il suono della matematica




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La Musica è il suono della matematica  


 La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere estratte da un principio evidente, che non può essere conosciuto senza l'aiuto della matematica.» Jean-Philippe Rameau


 







Le singole note, che troviamo sulla tastiera di un pianoforte, costituiscono l'alfabeto con cui costruire una qualunque composizione musicale. Con quale criterio sono stati scelti proprio quei suoni e, soprattutto, come sono state determinate le distanze tra uno e l' altro?

Lo stretto rapporto che intercorre tra la musica e la matematica fu studiato sin dall'antichità: un esempio classico è dato dalla Scuola Pitagorica.

La scala pitagorica è basata sul cosiddetto sistema ciclico, che consiste nel ricavare tutti i suoni, sia diatonici che cromatici, dalla riproduzione a diverse altezze di un unico intervallo: l'intervallo di quinta. Tale riproduzione si attua attraverso particolari calcoli numerici, che consistono nella moltiplicazione (in senso ascendente), o nella divisione (in senso discendente), del rapporto 3/2, che rappresenta l'intervallo di quinta.

I differenti toni di questa scala sono legati da rapporti fra numeri interi. Se prendiamo una corda che produce un determinato suono e desideriamo ottenere il suono superiore di un'ottava, dobbiamo interrompere la corda nel suo punto centrale. La nota di partenza (supponiamo DO) è rappresentata dal rapporto 1/1 e lo stesso suono, ma all'ottava superiore, dal rapporto 2/1. Si stabilisce che DO 1/1 x 3/2 determina il SOL=3/2 e SOL=3/2 x 3/2 determina il RE=9/4. Per determinare il FA e i suoni bemollizzati si procede dividendo per 3/2.

Tale scoperta, che la tradizione attribuisce a Pitagora, ebbe sul pensiero greco un effetto sconvolgente; l'imprevista ma limpidissima corrispondenza tra suoni e numeri, non mediata, come accade per noi, dalla teoria fisica degli armonici, costituì per i Pitagorici il principale argomento a favore della tesi che 'tutto è numero'.

Gli inconvenienti della scala pitagorica sono sostanzialmente due:

il cerchio delle quinte non si chiude, dato che il SI# è più alto del DO;

la terza maggiore risulta dissonante (l'intonazione era crescente rispetto a quanto necessario per la consonanza).

Verso la fine del 1600, il teorico tedesco Andreas Werkmeister, introdusse il sistema temperato dodecafonico, cioè di dodici suoni: questo è il sistema che è in uso tuttora. Questa scala è basata sulla divisione dell'ottava in dodici parti uguali, ciascuna delle quali è data da un unico intervallo: il semitono, una misura unica nella quale sono resi identici il semitono diatonico e cromatico. Il primo a dare validità melodica e matematica alla scala ben temperata fu Johann Sebastian Bach.

L'idea della scala pitagorica era perfetta da un punto di vista matematico, ma era alquanto sgradevole da un punto di vista musicale.

La scala ben temperata invece, ha il pregio di essere perfetta sia dal punto di vista musicale che matematico: il calcolo dei suoni, si fa partendo dal DO (1) fino ad arrivare al DO dell'ottava superiore (2), elevando la radice dodicesima di 2, cioè 1,059463094, alla prima, seconda.potenza, per ricavare i suoni dal DO# in poi.

Ci sono notevoli differenze tra la scala pitagorica e la nostra scala temperata: il semitono cromatico, ad es. il DO#, è di altezza differente, e per l'esattezza è più alto, rispetto al semitono diatonico (REb), mentre, nel sistema temperato, il semitono cromatico e diatonico coincidono


Confronto dei suoni attraverso il sistema centesimale di Ellis

Scale

DO

DO#

REb

RE

RE#

MIb

MI

MI#

FA

FA#

SOLb

SOL

SOL#

LAb

LA

LA#

SIb

SI

SI#

DO

Pitagorica





















Temperata
























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