Stabilità delle reazioni

1. Criteri di stabilità

In generale, dato un sistema che presenta una funzione di trasferimento F(s), dove s=s+jw, condizione necessaria affinché il sistema sia stabile è che i poli di F(s) non compaiono nel semipiano positivo (zero compreso) delle s (fig 1).

			Limitando il discorso agli amplificatori, vediamo ora un criterio per determinare la loro stabilità.

1.1. Criterio di Nyquist

Il sistema che prendiamo in analisi presenta dunque un anello di reazione e una funzione di trasferimento con questa forma:

Facciamo l'ipotesi che i blocchi G e H siano in partenza stabili, in altre parole non abbiano poli per s

Questo significa che neanche il denominatore di G_F

presenta dei poli.

Immaginando di scomporre M(s) in numeratore N(s) e denominatore D(s), abbiamo che, per le ipotesi fatte,  D(s) non presenta poli per s 0. Quindi non resta che stabilire se N(s) presenta degli zeri, oppure, equivalentemente, se M(s) presenta degli zeri.

In conclusione si ha stabilità quando 1+GH non presenta zeri (né poli per ipotesi) per  s

Per determinare il numero e la posizione dei poli possiamo utilizzare un risultato della teoria delle funzioni analitiche che mette in relazione il comportamento di F(s) con il numero dei suoi zeri e dei suoi poli.

					poli
					zeri

Con riferimento alle fig. 2a e 2b, la quantità è uguale al numero di inviluppi di F(s) intorno all'origine (il verso di rotazione dipende da quale delle due quantità è maggiore). Se il dominio D scelto non comprende poli e zeri, oppure se il numero dei poli è uguale al numero degli zeri, F(s) non inviluppa l'origine (inviluppare l'origine=compiere un giro completo intorno all'origine).

Per le considerazioni precedenti, sappiamo che la nostra F(s) non presenta poli per  s 0; di conseguenza, qualunque contorno contenuto nel semipiano s 0 noi consideriamo, la nostra F(s) non dovrebbe inviluppare l'origine. Se ciò accade significa che esiste almeno uno zero nel semipiano s 0 e quindi il sistema è instabile. Il contorno più grande che possiamo considerare è quello che contiene tutto il semipiano s 0, quindi:

In definitiva, noi dobbiamo studiare la quantità 1+G(s)H(s) nell'intorno dell'origine; se questa funzione contorna l'origine il sistema è instabile, altrimenti è stabile.

Equivalentemente, ed è quello che faremo, possiamo studiare la funzione G(s)H(s) nell'intorno di 1. Inoltre, siccome G(s)H(s) è a coefficienti reali, è simmetrica rispetto all'asse reale, quindi possiamo limitare lo studio all'intervallo [0,+

Per fare questo utilizziamo un diagramma polare (fig 3b), su cui disegniamo, al variare di jw da 0 a + , il modulo e la fase di GH.

				Fig 3b

In figura 3a compaiono due forme tipiche di GH(jw) per gli amplificatori. Vediamo che la curva che passa tra 0 e 1 (non contorna l'1) indica un sistema stabile, mentre la curva che passa oltre l'1 indica un sistema instabile.

1.1.1. Margine di guadagno e di fase

Il criterio che abbiamo visto è teorico. Nella pratica occorre avere un margine maggiore per decidere se un sistema è stabile oppure no.

			Consideriamo la fase di GH quando |GH|=1; nell'esempio di fig 4, la curva che passa internamente a 1 interseca la circonferenza di raggio 1 nel punto A, e qui la fase a vale circa 225°; la curva che passa esternamente a 1 interseca la circonferenza nel punto B, e qui la fase a vale circa 135°.

Definizione: Margine di fase = fase di GH (quando |GH|=1) ­- 180°

Nell'esempio il margine di fase della prima curva è 225°-180°=45°, il margine di fase della seconda curva è 135°-180°=-45°.

Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di fase, dice:

se margine di fase > 0 T sistema stabile

se margine di fase < 0 T sistema instabile

Il criterio pratico dice:

se margine di fase T sistema "ingegneristicamente" stabile

se margine di fase < 45° T sistema "ingegneristicamente" instabile

Definizione: Margine di guadagno (in dB) = |GH| quando fase di GH=180°

Nell'esempio, quando la fase è 180°, la prima curva ha modulo <1, quindi il margine di guadagno è >0, la seconda ha modulo >1, quindi il margine di guadagno è <0.

Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di guadagno, dice:

se margine di guadagno > 0 T sistema stabile

se margine di guadagno < 0 T sistema instabile

1.2 Criterio di Bode

Il criterio di Bode discende da quello di Nyquist ma è più semplicistico. Nonostante questo, per noi va benissimo, perché limitiamo il nostro studio agli amplificatori.

								-90°
						Fig 4b
		Fig 4a

Esiste una precisa corrispondenza tra il grafico di fig 4a e quello di fig. 4b. A destra abbiamo il comportamento modulo/fase di GH al variare di jw, tracciato su un diagramma polare, a sinistra abbiamo il comportamento del modulo di GH, tracciato su un diagramma di Bode. Al diminuire della fase (da -45° a -180°) il modulo diminuisce fino a diventare minore di 1: questo accade a destra quando la curva interseca la circonferenza unitaria, a sinistra quando la curva passa al di sotto dell'asse X (0 dB).

Il criterio di Nyquist ci dice che una curva di questo tipo (fig 4b) indica instabilità del sistema. A sinistra (fig 4a) osserviamo che la curva taglie l'asse X con una pendenza di -40dB/decade.

In questo secondo caso il criterio di Nyquist ci dice che il sistema è stabile, perché la curva non contorna l'1. In fig 5a osserviamo che la curva taglia l'asse X (cioè |GH| diventa minore di 1, o minore di 0dB) quando la sua pendenza è pari a -20dB/decade. In fig. 5b notiamo che la curva taglia la circonferenza unitaria con un margine di fase maggiore di 45°, viene quindi rispettato la condizione "pratica" di stabilità.

Da queste considerazioni si può dedurre che la curva del modulo di GH non deve tagliare l'asse X con un'inclinazione superiore a -20 dB/decade, altrimenti il sistema è (praticamente) instabile. Il caso estremo si ha quando il margine di fase è proprio 45°, cioè quando la curva a destra taglia la circonferenza unitaria proprio a -135° (cioè a 225°). Questo caso è rappresentato dai grafici di fig 6 a e 6b; a  sinistra abbiamo che l'inclinazione della curva cambia proprio nel punto di intersezione con l'asse X.

Chiamando a il polo a sinistra e b il polo a destra, quando si verifica questa condizione abbiamo che la seguente relazione è vera:

Infatti il segmento di curva che unisce i due poli ha un'inclinazione di -20dB/decade, cioè è inclinata di 45 gradi, quindi la distanza che separa i due poli sull'asse X è pari alla distanza che li separa sull'asse Y, distanza pari a G₀H.

Abbiamo visto in precedenza che quando questa relazione è soddisfatta il sistema presenta i seguenti valori:

Q=1, k=1/2 e w a

2. Compensazione in frequenza

Consideriamo uno dei quattro amplificatori, per esempio l'amplificatore di tensione, rappresentato in fig. 7.

			Come sappiamo, per calcolare il guadagno di anello dobbiamo eliminare il generatore esterno ed esprimere vi in funzione di : (a seconda di quale definizione di Ga si utilizza)

La curva di risposta in frequenza di un amplificatore operazionale ha il tipico andamento raffigurato in fig. 8.

			Questo è l'andamento tipico della curva di risposta di un amplificatore operazionale non compensato; essa presenta 3 poli naturali. Ora vogliamo disegnare la curva di risposta dell'amplificatore di tensione, considerando quindi l'effetto della reazione. In altre parole vogliamo disegnare l'andamento di |Ga|.

Guardando la formula che ci fornisce G_a, possiamo vedere che l'andamento di |G_a| è graficamente pari alla somma degli andamenti di |A| e di . In fig 9 sono rappresentati separatamente i grafici relativi a queste due quantità.

			Nota che: , quindi la retta oizzontale che rappresenta questa quantità rimane sotto l'asse a 0 dB.

					Sommando i due grafici otteniamo il grafico di fig 10, che è uguale al grafico di |A| ribassato di una quantità pari al partitore delle resistenze. Se il partitore valesse 1 (=0dB), non ci sarebbe nessuna modifica all'andamento; più il partitore ha un valore vicino a zero, maggiore è l'abbassamento. Se l'abbassamento è sufficientemente grande, il sistema diventa stabile, perché la curva taglia l'asse 0dB con un'inclinazione di -20dB/decade; se l'abbassamento è insufficiente, il sistema è instabile.
	|G a|

Un modo per stabilizzare l'anello è quello del polo dominante. In generale occorre inserire un blocco di compensazione C all'interno dell'anello di reazione (fig 11)

			Come rappresentato in fig 12, si tratta di inserire un polo ad una frequenza molto bassa, in modo da ridurre la pendenza della curva. f1 : primo  polo naturale fc : polo di compensazione In questo modo la curva taglia l'asse 0dB con una pendenza di -20dB/decade e il sistema è stabile.

Nota che vale la seguente relazione:

Infatti, visto che un'inclinazione di 20dB/decade significa un'inclinazione di 45°,  la distanza che separa i due poli è pari all'altezza massima della curva.

Inserendo il polo di compensazione otteniamo un sistema con 4 poli, ma i due poli naturali più a destra si trovano molto sotto all'asse 0 dB e quindi sono trascurabili (ricorda che a 0dB il guadagno è pari a 1).

Riassumendo: l'abbassamento dovuto al partitore e il polo di compensazione sono due fattori concomitanti che portano il sistema alla stabilità. Se l'abbassamento è grande, il polo di compensazione può essere messo a una frequenza più grande; se l'abbassamento è piccolo, al limite nullo, il polo di compensazione deve essere messo a una frequenza molto bassa.

La curva dell'amplificatore compensato risultante è rappresentata in fig 13.

			Indicativamente, il polo di compensazione cade a una frequenza intorno a 1 Hz, mentre il polo naturale si trova generalmente intorno ai 50-100 kHz. Per inserire il polo di compensazione occorre mettere un condensatore in parallelo al segnale; negli amplificatori operazionali il condensatore utilizzato ha un valore di circa 10 pF sfrutta l'effetto Miller (vedi su slide il valore C0).

Un polo a così bassa frequenza apparentemente non comporta nessun problema. In realtà il guadagno di anello inizia ad abbassarsi già a basse frequenze, e tutti vantaggi legati all'avere un alto guadagno subiscono una diminuzione: il comportamento dell'anello non è più efficace come prima (insensibilità ai rumori, valore preciso nel guadagno di anello).

Un'altra soluzione consiste nell'introduzione di una coppia polo-zero. Immaginiamo di avere un sistema instabile avente la curva di risposta rappresentata in fig. 14.

			Sul grafico compare anche l'eventuale polo di compensazione, ad una frequenza molto bassa. Proviamo ora ad inserire uno zero alla stessa frequenza del primo polo naturale (quello a frequenza minore), annullo quel polo e la curva si modifica come descritto in fig. 15.

	|Ga|

							Otteniamo una curva traslata a destra, dove quello che era il secondo polo è diventato il primo polo. Se a questo punto vogliamo inserire il polo di compensazione, possiamo metterlo più a destra rispetto alla situazione precedente, in modo che il guadagno rimanga alto per un campo di frequenze più ampio.
				Fig 15

Abbiamo già visto in precedenza che per piazzare una coppia polo-zero occorre inserire in parallelo al segnale una coppia resistenza - condensatore; la posizione dello zero dipende dai valori di R e C, quindi posso piazzare lo zero con grande precisione.

Quelle che abbiamo visto sono le uniche due tecniche applicate agli amplificatori operazionali.

2.1 Compensazione dell'integratore

			Consideriamo il circuito integratore di fig. 16 e calcoliamo il guadagno di anello Ga con la solita procedura:

Disegniamo sul diagramma di Bode il grafico dell'andamento di |A| (classica curva a tre poli dell'amplificatore operazionale) e dell'andamento di  (fig. 17).

			La curva a tratto sottile rappresenta l'andamento di |A|, mentre la curva a tratto spesso rappresenta l'andamento di . Come si può vedere, quando s , la seconda curva tende a 0dB (cioè a 1). Se adesso sommiamo graficamente le due curve, otteniamo il grafico di fig. 18.

			Si vede chiaramente (criterio di Bode) che il sistema è instabile. Se applichiamo ora il metodo del polo dominante, otteniamo il risultato presentato in fig. 1

					Nonostante l'introduzione del polo di compensazione, il sistema è ancora instabile. Infatti, in questo caso, il punto da prendere come polo di compensazione non è l'intersezione tra la curva di risposta C e la retta R con pendenza 20dB/decade che parte dal primo polo naturale.

2.2. Compensazione del derivatore

					Consideriamo il circuito derivatore di fig 21 e immaginiamo che l'amplificatore operazionale impiegato sia compensato internamente (quindi ha un polo dominante). Calcoliamo il guadagno di anello: Disegniamo separatamente la curva di |A| e di (fig 22). Componendo i due grafici otteniamo la curva di fig 23.
						Questa curva indica un sistema instabile. Una regola pratica da seguire è la seguente: l'amplificatore operazionale compensato internamente va bene se la rete in cui è inserito è solo passiva. In caso contrario bisogna mettere un amplificatore da compensare e lo adatto alla rete.

2.3. Un altro esempio

			Prendiamo in esame il circuito di fig 24. L'idea (sbagliata) è quella di inserire un condensatore con l'intenzione di eliminare un po' di rumore sull'uscita. Nota: l'amplificatore operaz. In questione è compensato internamente. In questo caso teniamo conto anche di Ro che, anche se piccola, fa sentire la sua influenza. Calcoliamo dunque Ga:

Il guadagno di anello presenta un polo, quindi la curva del sistema (che senza condensatore è stabile) si trasforma nel modo descritto in fig. 25.

							Con l'introduzione del nuovo polo, dovuto alla presenza del condensatore, il sistema diventa instabile.
		polo introdotto
				Fig 25

3. Considerazioni sull'oscillazione

Quando un sistema non è stabile, lo si chiama generalmente "sistema oscillante", ma qual è la causa di tale oscillazione? La rotazione di fase introdotta nell'anello (dovuta a poli e zeri) può modificare il verso della reazione; in particolare, se la rotazione è di 180°, la reazione cambia di segno ad ogni ciclo (da positiva diventa negativa e viceversa).

Esisterà una frequenza particolare alla quale la rotazione di fase è tale da invertire il verso della reazione; se il guadagno di anello è maggiore di 1, a quella frequenza l'uscita aumenta (in modulo) ad ogni giro; se invece il guadagno è uguale a 1, l'ampiezza del segnale non viene modificata mentre il verso si inverte ad ogni giro. Siccome questo fenomeno avviene ad una sola e ben precisa frequenza, in ingresso e in uscita devo una sinusoide.

Le condizioni alle quali avviene questo fenomeno sono dette condizioni di Barkhausen:

rotazione di fase complessiva = 0

modulo del guadagno di anello = 1

			Se il guadagno è maggiore di 1, la sinusoide in uscita avrà un'ampiezza crescente. Ma siccome la dinamica non è infinita (fig 26), la tensione di uscita Vu non può crescere all'infinito. Ad un certo punto il sistema esce dalla zona di linearità e si ottiene un'oscillazione "sporca" (fig 27).

	Per ottenere un'oscillazione "pulita" devo fare in modo che il sistema rimanga in linearità.

	Fig 27

Ma il problema è un altro; abbiamo visto che per attivare l'oscillazione occorre avere una precisa frequenza che soddisfi le condizioni di Barkhausen; ma questo significa avere in ingresso una sinusoide pulita, che è quella che non abbiamo e che vogliamo ottenere in uscita.

Nei circuiti reali c'è sempre del rumore, composto da un gradissimo numero di frequenze, e tra queste ci saraà quella particolare frequenza che innesca l'ocillazione. Però inizialmente il guadagno dovrà essere maggiore di 1, in modo da raggiungere una certa ampiezza; una volta che la sinusoide si è creata, occorre rimettere il guadagno a 1, in modo da stabilizzare la reazione e fissare l'ampiezza della sinusoide. Questa operazione di controllo è svolta da un circuito che si chiama appunto: circuito di controllo dell'ampiezza.