Teoremi di rolle e di lagrange

TEOREMI DI ROLLE E DI LAGRANGE

I due teoremi che ci accingiamo a dimostrare sono detti teoremi fondamentali del calcolo con le derivate.

TEOREMA DI ROLLE

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo compatto [a, b], derivabile nei punti interni ad [a, b]. se f(a)=f(b) esiste un punto interno ad [a, b] tale che . In altri termini vale la seguente implicazione:

Dim

Per il teorema di Weistrass che vale in virtù dell'ipotesi 1) f(x) ha in [a, b] minimo e massimo. Ciò significa che

Se è evidente che la funzione f è costante in [a, b] e il teorema di Rolle è certamente vero quindi si ricordi che la derivata di una costante è nulla.

Se per l'ipotesi 3) almeno uno dei due punti . Se per esempio è interno ad [a, b] allora essendo un punto di estremo assoluto, è anche un punto di estremo relativo nel quale f è derivabile per l'ipotesi 2). Dal teorema di Fermat si deduce che e il teorema di Rolle è completamente dimostrato.

Osservazione 1

Se consideriamo il diagramma di una funzione f che verifica l'ipotesi del teorema di Rolle allora questo teorema afferma che esiste almeno un punto c del diagramma, distinto dagli estremi a e b, in cui la tangente geometrica è parallela all'asse x.

Osservazione 2

La continuità di f(x) negli estremi dell'intervallo [a,b] è indispensabile.

Consideriamo ad esempio la funzione            

                  Tale funzione è derivabile in ma non è continua in [0, 1] perché nel punto 1 ha una discontinuità eliminabile essendo . inoltre vale (per l'ipotesi 2) f(0)=f(1)=0 . Ebbene, essendo tale funzione non verifica la tesi del teorema di Rolle.

TEOREMA DI LAGRANGE

Se f(x) è una funzione continua nell'intervallo compatto [a,b] e derivabile nei punti interni ad [a,b], esiste un punto interno ad [a,b] tale che:

Questa uguaglianza si chiama formula di Lagrange.

Dim

Consideriamo la funzione ausiliare

La quale,geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del punto Q della retta congiungente gli estremi A=(a,f(a)), B=(b,f(b)) aventi la stessa ascissa(distanza variabile del diagramma della retta).

Si verifica facilmente che g(a)=g(b)=0. D'altra parte g è continua in [a,b], derivabile inrisulta

Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto

. Ma ciò equivale a dire che esiste un punto

.

Il teorema è dimostrato.