Sistemi di equazioni di 1° grado a due incognite

Esistono equazioni di 1° grado che presentano 2 incognite, ad es.

in questo caso non è possibile risolvere l'equazione direttamente. Occorre conoscere un'altra equazione in cui venga espressa una seconda uguaglianza utilizzando le incognite x e y ad es.

Il problema in questo caso consiste nel trovare un valore di x ed un valore di y tali che sia la prima che la seconda uguaglianza siano vere

Per fare ciò si dice che le due equazioni vengono messe a sistema. Si incolonnano le due equazioni e si racchiudono con una parentesi graffa a sinistra:

Per risolvere il sistema è necessario (ma non sufficiente) che il numero delle equazioni sia almeno uguale al numero delle incognite presenti in una delle equazioni, quindi 2 incognite 2 equazioni; 3 incognite  3 equazioni, e così via.

Esistono vari metodi per risolvere i sistemi di equazioni, ma qui verrà esaminato solo il metodo di sostituzione.

Metodo di sostituzione

Riprendiamo il sistema scritto in precedenza e risolviamo la prima equazione rispetto ad y, cioè isoliamo la y al 1° membro, portando tutti gli altri termini al 2° membro.

              

Dall'equazione così scritta si ricava che la y è uguale a 13-x, quindi nella seconda equazione al posto della y possiamo sostituire 13-x. La seconda equazione perciò diventa:

  (Attenzione! Davanti alla y della seconda equazione c'è il segno -,

perciò dobbiamo cambiare il segno a tutti i termini che sostituiscono la y

Ora possiamo risolverla come una normale equazione di 1° grado

Ora che abbiamo risolto rispetto alla x trovando il valore , sostituiamo ad una delle due equazioni originarie il valore al posto della x. Ad esempio, usando la prima equazione:

scriviamo

quindi

                    

Verifichiamo l'esattezza delle soluzioni sostituendo nella prima equazione ad x e ad y rispettivamente e

  le soluzioni e sono esatte perchè verificano l'uguaglianza.

Naturalmente se sostituiamo i valori nella seconda equazione l'uguaglianza deve essere comunque verificata:

Vediamo un altro esempio

Es. 1

isoliamo la x dalla seconda equazione (possiamo scegliere sia l'incognita da isolare che l'equazione da cui ricavarla. In genere si sceglie quella che permette di calcolarla in modo più semplice)

  (facciamo sempre molta attenzione ai segni e a cambiarli quando spostiamo i

termini tra 1° e il 2° membro!

Ora sostituiamo al posto della nella prima equazione

Sostituendo il valore nella seconda equazione otteniamo

                        le soluzioni quindi sono