Serie di funzioni

SERIE DI FUNZIONI

DEFINIZIONE

Si definisce serie di funzione una serie i cui termini sono funzioni di una variabile x.

La serie di funzioni si presenta nella seguente forma:

dove  sono detti termini della serie e è il termine generale della serie.

Per calcolare tale serie dobbiamo innanzitutto stabilire il dominio delle funzioni. Nella maggioranza dei casi esso è sempre lo stesso e lo chiameremo D.

Dall'interno del dominio prendiamo un punto x₀ che, sostituito alla variabile x nella serie data, creerà una nuova serie:

che non sarà più una serie di funzioni ma una normale serie numerica.

Possiamo procedere normalmente trovando innanzitutto il valore della  somma parziale n-esima:

e passare successivamente al rispettivo calcolo del limite:

e si possono avere i tre casi:

1. Il valore del limite è F(x₀)  e la serie converge;
2. Il valore del limite è e la serie diverge positivamente o negativamente;
3. Il valore del limite non esiste e la serie è oscillante o indeterminata.

Quando si verifica il primo caso la serie data converge nel punto x₀

Allora si dice che la seguente serie:

 HA UNA CONVERGENZA PUNTUALE.

Risolvere una serie di funzioni vuol dire trovare il dominio o l'insieme di convergenza, cioè l'insieme di tutti quei valori appartenenti al dominio D per cui la serie è convergente.

Nello studio di una serie di funzione dobbiamo trovare:

il carattere della serie;

l'intervallo di convergenza.

Per meglio capire tali concetti portiamo avanti un esempio con una serie di funzioni o più precisamente con una serie di potenze:

per prima cosa troviamo il dominio di tali funzioni:

per determinare il carattere della serie dobbiamo applicare uno dei metodi di convergenza che si usano per le serie numeriche(criterio della radice, del rapporto, della radice,  1° o 2° criterio del rapporto) considerando la serie data in valore assoluto per poter trovare la convergenza assoluta.

Per questa serie applichiamo il teorema del rapporto:

       la serie è assolutamente convergente.

Per trovare l'intervallo di convergenza consideriamo che

se x allora la serie converge F(0)=0

se x allora la serie converge a zero

SERIE DI POTENZE

Le serie di potenza sono in grandi linee di due tipi

si può facilmente notare come, le serie di potenze, convergono tutte per x=0; alcune convergono per qualsiasi valore di x e altre solo per particolari valori. Il teorema che segue è fondamentale per lo studio del carattere di una serie di potenze:

teorema di Abel: Considerando R il raggio di convergenza, per ogni serie di potenza in x sia ha una ed una sola delle seguenti eventualità:

la serie converge solo per x=0. il raggio di convergenza si definisce ponendo R=0;

la serie converge assolutamente . Il raggio di convergenza è definito ponendo R=;

la serie converge assolutamente per ogni x contenuta in un intervallo aperto (-R;R), ovvero , e non converge se x>R e se x<-R, ovvero non converge se . Negli estremi di tale intervallo, cioè in  , la serie può convergere semplicemente o assolutamente, può divergere o oscillare, e ciò dipende dalla particolare serie.il raggio di convergenza, in questo caso è proprio R.

il raggio di convergenza è l'insieme di tutti i valori di x per i quali la serie di potenze converge.

Un esempio chiarisce quanto detto:

Studiare la serie (a termini positivi)

Per x=0 è evidente che la serie converge a zero;

per x, si ha applicando il teorema del rapporto:

ponendo

abbiamo che la serie data è assolutamente convergente, quindi è convergente per x appartenente all'intervallo ]-1;1[e, tenendo conto della limitazione posta, diventa x appartenente a [0;1[. Il raggio di convergenza è R=1

si studia ora il comportamento della serie per e si nota subito come la serie che si ottiene diverge.

Dobbiamo infine trovare la somma della serie:

nell'intervallo di convergenza, cioè per , la serie data risulta essere una serie geometrica di primo termine x e ragione uguale a x quindi sarà:

             con 0<x<1

SERIE UNIFORMRMENTE CONVERGENTI

Dopo aver definito, all'inizio della relazione di serie puntualmente convergente, vediamo quando si può parlare della convergenza uniforme della serie:

Data la serie

si dice che tale serie è uniformemente convergente in un insieme D appartenente ad Red ha per somma F(x) se, fissato ad arbitrio un numero reale positivo e, è possibile determinare un indice , dipendente solo da e, tale che, per ogni n>e per qualsiasi xR, si abbia

la differenza tra una serie puntualmente convergente ed una uniformemente convergente è che mentre la prima vale solo per un punto appartenete al dominio D, la seconda vale per tutte le x dell'intorno di che si crea partendo da .

La convergenza uniforme è importante per conoscere i seguenti teoremi d'integrazione e di derivazione per serie.

TEOREMA DI INTEGRAZIONE PER SERIE

Sia  una serie di funzioni continue, uniformemente convergente nell'intervallo [a;b] verso la funzione F(x). Allora si ha

ovvero:

e importante considerare un intervallo d'integrazione[a;b] interno al dominio di convergenza della funzione altrimenti l'integrale non converge.

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA SERIE

Sia  una serie di funzioni  convergente nell'intervallo [a;b] verso la funzione F(x) e le funzioni ,termini della serie data ,siano, per ogni n, derivabili e dotati di derivata comune in [a;b] . Allora si ha

ovvero:

cioè la serie data è derivabile termine a termine.

È importante ricordare che la serie data con la sua serie integrale e la sua serie derivata hanno lo stesso dominio di convergenza e lo stesso raggio di convergenza.