Risoluzione di una forma differenziale esatta

Risoluzione di una forma differenziale esatta

Consideriamo la funzione

Z = f (x;y)

Calcoliamo il differenziale totale della funzione

d f (x;y) = f _x (x;y) dx + f _y (x;y) dy

che si può anche scrivere nella forma:

A(x;y) dx + B(x;y) dy [1]

dove A(x;y) e B(x;y) sono funzioni continue, insieme alle loro derivate parziali in I R².

La forma differenziale [1] si dice esatta o integrabile se

In tal caso la funzione f(x;y) si dice integrale o primitiva della forma differenziale [1].

Condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione f(x;y) esista è che le funzioni A(x;y) e B(x;y) siano parzialmente derivabili e che derivando A(x;y) rispetto ad y e B(x;y) rispetto ad x, (il teorema di Schwarz) cioè:

Le funzioni primitive o integrali della forma differenziale [1] si possono esprimere nelle forme

[2]

oppure

[3]

essendo P₀ (x₀ ; y₀) un opportuno punto interno all'insieme I R².

Esempio. Chiariamo quanto detto con un esempio.Consideriamo la seguente forma differenziale.

(3x³y - y²) dx + (x³ - 2xy +1) dy (definita in I = R²)

Risulta: A(x;y) = 3x²y - y² e B(x ;y)= x³- 2xy +1

Affinché la forma differenziale risulti esatta, dopo aver verificato che A(x;y) e B(x;y) sono  

continue in R² con le proprie derivate parziali, deve essere:

         e

quindi si è verificata la condizione di esistenza della funzione f(x;y)

Calcoliamo ora la funzione f(x;y) e quindi

[2]

         [3]

Procediamo con una delle due forme, scelta opportunamente, calcolata nel punto P₀(0;0) I

= =

Tenendo conto dell'arbitrarietà della scelta del punto P₀ si propone una:

Procedura risolutiva alternativa.

Affrontiamo ora una procedura risolutiva alternativa a quella appena descritta. L'integrale cercato f(x;y) deve essere tale che

[4]

da cui

Con questo metodo risolutivo, possiamo ricavare la funzione f(x;y) proprio da quest'ultima scrittura e quindi

Il parametro C è una funzione arbitraria della sola y per cui:

f(x;y)=

Determiniamo la funzione f(y)

Da questa uguaglianza ricaviamo f(y) per cui:

f ^I(y)=1   T f(y) = y +C

Sostituendo si ottiene

f(x ;y)= x³y - xy² + y + C