L'esperimento di gauss

L'ESPERIMENTO di Gauss

Dopo aver considerato attentamente questo problema, Gauss suggerì un criterio per determinare la verità della geometria euclidea. La somma degli angoli di un triangolo è di 180s nella geometria euclidea ma è meno di 180s nella nuova geometria. La misurazione degli angoli di un triangolo avrebbe pertanto potuto stabilire quale geometria si adatti al mondo fisico. Doveva essere scelto un triangolo grandissimo, per due ragioni. Innanzitutto l'errore di misurazione è maggiore in un triangolo più piccolo. In secondo luogo, un teorema della geometria di Lobacevskij e di Bolyai dice che la somma degli angoli di un triangolo si approssima a 180s man mano che le dimensioni di un triangolo si riducono. Per un triangolo piccolo la somma potrebbe essere così prossima a 180s che gli strumenti di misurazione potrebbero non essere sensibili alla differenza.

Gauss stesso eseguì l'esperimento. Egli collocò tre osservatori sulla vetta di tre montagne. Ciascun osservatore misurò l'angolo formato dalle sue linee visuali dirette agli altri due osservatori. La somma degli angoli del triangolo risultò inferiore di 2" a 180s, con una differenza così piccola da poter essere imputata a errori di misurazione. Perciò l'esperimento non risultò decisivo.

L'aspetto irritante dell'esperimento del triangolo di Gauss consisteva nel fatto che, anche nelle migliori condizioni sperimentali, esso non potrebbe mai dimostrare che lo spazio è euclideo poiché, anche se la somma degli angoli dovesse dare 180s, si dovrebbe concedere la possibilità di errori di misurazione e quindi la possibilità che la somma esatta sia inferiore a 180s. Di fatto l'esperimento implicava due assunti ingiustificati, ciascuno dei quali avrebbe potuto invalidare una conclusione tratta da esso. Il primo era che il triangolo formato dalle tre vette di montagne fosse abbastanza grande da dare un risultato decisivo. Il secondo assunto era che i raggi di luce che formavano i lati del triangolo seguissero traiettorie rettilinee. I raggi possono in effetti incurvarsi leggermente ma in misura percettibile.