La nozione di derivata

LA NOZIONE DI DERIVATA

Definizione 1

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e I.

Il rapporto:

con x I-

si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto .

Si dice che la funzione f è derivabile in se il rapporto incrementale di f relativo ad è convergente in e, in tale ipotesi, il limite si chiama la derivata di f in e si denota con uno dei seguenti simboli:

; D; ().

In conclusione

è

purché il limite del secondo membro esista e sia finito.

Definizione 2

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e .

I limiti: ; se esistono finiti si chiamano rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in e si denotano con uno dei simboli:

() ; ; () ; .

In conclusione :

();().

Osservazione

E' evidente che vale la seguente equivalenza

( f derivabile in)(()=()=)

Conseguentemente:

(()())(f non è derivabile in )

Definizione 3

Si dice che la funzione f è derivabile nell'intervallo I se f è derivabile in ogni punto di I. In tal caso la funzione xIf'(x) si chiama la derivata della funzione f nell'intervallo I e si denota con uno dei simboli f', Df, oppure anche f'(x), Df(x), (x).

La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione:

Definizione 3 (generalizzata)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e I. Se accade che

=

si dice che la funzione f ha in derivata infinita.

Osservazione 1

Una volta data questa definizione se f è derivabile in e R si dice anche che f ha derivata finita.

Osservazione 2

Se nel rapporto incrementale di una funzione f :

poniamo h=x-, risulta: = e quindi =.

Analogamente, posto, si ha = .

Tali notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che non si voglia precisare. Infatti =. .

La differenza si chiama incremento della funzione f.

Ciò è il motivo per cui la funzione si chiama rapporto incrementale.

Proposizione

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e I. V.s.i.

(f derivabile in )(f continua in )

Dim

Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x₀))

.

ESEMPI

se c è una costante reale risulta Dc=0

infatti se f(x)=c , si ha:

e quindi

risulta Dx=1 .

posto f(x)0x si ha:===1

e quindi

Dx===1.

Risulta e cioè la funzione f(x)= ha in 0 derivata infinita

infatti: .

La funzione non è derivabile nel punto 0.

infatti

conseguentemente e ciò implica che