Integrale indefinito

INTEGRALE INDEFINITO

Definizione (di funzione primitiva)

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo I (qualsiasi). Ogni funzione F(x) che sia derivabile in I e tale che

F'(x) = f(x) xeI

si dice una primitiva di f nell'intervallo I .

Quindi se f ammette una primitiva F ne ammette infinite essendo essendo tali le funzioni F+c con c costante qualsiasi. D'altra parte esiste il seguente:

Teorema (sulle primitive)

Sia f una funzione reale definita in un intervallo I e dotata di primitiva. V.s.i.

(F e G primitive di f in I)T( c e R : G(x)=F(x)+c   xeI)

Conseguentemente se f è dotata di primitiva due qualunque delle sue primitive differiscono per una costante.

Dim.

Consideriamo la funzione H(x)=G(x)-F(x). Per l'ipotesi posta risulta:

H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0         xeI.

Dal teorema sulle funzioni con derivata nulla si deduce allora che la funzione H(x) è costante in I e cioè la tesi.

Da queste considerazioni deduce la seguente

Caratterizazione della primitiva di una funzione in un intervallo.

Sia f una funzione definita in un intervallo I.

Se F(x) è una primitiva di f(x) allora tutte e solo le primitive di f(x)  in I sono le infinite funzioni F(x)+c che si ottengono da F(x) aggiungendo una qualsiasi costante c.

Dim.

Se F è prmitiva di f in I, per quanto stabilito all'inizio, tutte le funzioni F+c con ceR sono primitive di f in I. D'altra parte per la proposizione precdente solo le funzioni F+c sono primitive di f in I.

Infatti se g è una qualsiasi primitiva di f in I, per la proposizione precdente risulta G=F+c con c costante.

Definizione 2 (Funzione integrale)

Sia f(x) una funzione integrabile in un intervallo I e sia x₀ eI. La funzione:

F(x)=

si chiama la funzione integrale della funzione f di punto iniziale x₀

Osservazione

Si noti che la funzione integrale è funzione dell'estremo superiore di integrazione x dell'integrale definito. Si noti anche che l'integrale definito è stato scritto usando come variabile di integrazione t invece di x.

Ciò è lecito  in quanto l'integrale definito è un numero che non dipende dalla variabile di integrazione .

Teorema fondamentale del calcolo dell'integrale.

Se f(x) è una funzione continua nell'intevvallo I, la funzione integrale F(x)= è derivabile in ogni punto xe I e risulta F'(x)=f(x) xeI.

In alteri termini se f(x) è continua in I la funzione integrale è una primitiva di f(x) in I.

Dim.

Considerato il rapporto incrementale di F(x), per la proprietà additiva dell'integrale definito si ha:

D'altra parte per il teorema della media applicato all'intervallo compatto di estremi x e x+h esiste un punto x_h dipendente da h e appatrenente all'intervallo in questione tale che:

in conclusione da questo ragionamento otteniamo l'applicazione:

E anche posto x_h =x + Ơh con  Ơ e

Dall'ipotesi di continuità di f(x) nell'intervallo I segue che:

Osservazione 3

L'importanza del teorema fondamentale del calcolo dell'integrale è evidente se f è costante la nozione integrale definito risolve sul piano teorico mediante tale teorema il problema del calcolo di una primitiva di una funzione definita in un intervallo e cioè risolve il problema fondamentale del calcolo integrale.

Notiamo ancora che si è detto che il problema dell'esistenza della primitiva è risolto solo teoricamente poichè nella pratica accade spesso che una funzione espressa elementarmente non è dotata di primitiva anch'essa espressa elementarmente.(Ad es. ).

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale si deducono le seguenti proposizioni:

Corollario (formula fondamentale del calcolo integrale)

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo compatto[a,b]in I.

Tale ipotesi se G(x) è una primitiva di f risulta

e cioè l'integrale definito di f(x) è uguale alla differenza di valori di una qualsiasi primitiva di f(x) negli estremi di integrazione a e b.

Dim.

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione integrale:

è una primitiva di f(x) nell'intevallo[a,b].

Conseguentemente essendo per ipotesi G(x) anch'essa una primitiva di f,deve risultare :

   dove c è un opportuna costante reale.

Per x=a dall'espressione precedente si ha:

quindi la formula si può scrivere nel seguente modo:

.

Osservazione 4.

è evidente l'importanza della formula:

Essa permette in modo molto semplice e rapido il calcolo dell'integrale definito di una funzione continua in un intervallo purché sia nota una primitiva di tale funzione.

Per tale motivo questa formula si chiama formula fondamentale del calcolo integrale.

Le considerazione fin qui svolte rendono lecita la seguente:

Definizione di integrale indefinito.

Sia f una funzione  reale continua in un intervallo I. In tale ipotesi f è dotata di primitiva per il teorema fondamentale del calcolo integrale.

L'insieme di tutte le primitive delle funzioni f nell'intervallo I si denota con il simbolo :

che si legge: integrale indefinito di f o anche integrale del differenziale di f(x).

Osservazioni.

Si noti che se F' è una primitiva di f in I risulta:

L'integrale indefinito a differenza dell'integrale definito, che è un numero reale, rappresenta un insieme di infinite funzioni.

Tuttavia per ragioni di semplicità, nella pratica si scrive:       

Con ciò si vuole indicare che, al variare  della costante reale c, l'espressione F(x)+c fornisce tutte le primitive di f in I la quale rappresenta l'integrale indefinito della funzione f nell'intervallo I.

Ancor più semplicemente, quando non ci sia possibilità di equivoco. si scrive:   .

Intendendosi con ciò che F(x) è una primitiva di f(x) in I e quindi rappresenta, a meno di una costante additiva, l'integrale indefinito di f in I.