Differenziale

DIFFERENZIALE

Consideriamo una funzione f(x) in un intervallo [a,b]  xe]a,b[si ricorre alla formule di Taylor di punto iniziale x₀ e di ordine 1:

Osserviamo che posto h=x-x₀  tale espressione si può riscrivere nella forma:

dove denota un infinitesimo di ordine superiore ad h per h

Indicando con x il generico punto di ]a,b[ abbiamo in definitiva.

supponendo h come variabile reale ovvero h e R.

Ciò posto si danno le seguenti definizione:

I)La differenza dei valori f nei punti x e x+h si chiama incremento della funzione f e si annota con il simbolo . Si pone cioè:

.

II)L'unione f'(x)h si denota col simbolo df e si chiama differenziale della funzione f. Se poniamo df=f(x)h .

Una volta date queste definizioni abbiamo:

e cioè l'incremento e il differenziale differiscono per un infinitesimo di ordine superiore ad h per h

Osservazioni:

Si noti che se g(x)=x , avremo g'(x)=1, e quindi dx=h e cioè il differenziale di x è una funzione (della sola variabile h) che si identifica con h. Ne segue che: df=f'(x)dx.

Integrazioni immediate.

cfr.(tavole pag17)

Dal Teorema di derivazione delle funzioni composte si ha:

e cioè:

Conseguentemente:

Questa formula ci permette di generalizzare la tabella degli integrali immediati.

Osservazione

Si noti che, per quanto visto sul differenziale, risulta . Pertanto si può scrivere:

Osservazione 2

Contrariamente a quanto accade per la derivazione, non sempre una primitiva di una funzione f  che sia un espressione elementare corrisponde ad un espressione elementare.

Ad esempio è stato provato che le funzioni siano prive di primitive elementarmente esprimibili.

Se un espressione elementare f è dotata di primitiva elementarmente esprimibile si dice che è possibile calcolare o anche che l'integrale è calcolabile.

Inoltre mentre la derivazione di un espressione elementare è sempre possibile utilizzando le regole di derivazione, l'integrazione indefinita di un espressione elementare non è sempre possibile anche utilizzando le regole di integrazione indefinita che nel seguito stabiliamo.

Integrazione per trasformazione della funzione integranda.

Il metodo consiste nel ricondurre, con opportuni artifici, al calcolo di un integrale a quello di un integrale immediato. cfr. esempi pag 19.

Integrazione per scomposizione in somma.

Proprietà distributiva.

Siano f e g due funzioni continue in un intervallo e c₁ ,c₂ costanti.

Si ha:   

Dim.

Siano F(x) e G(x) rispettivamente una primitiva di f(x) e una primitiva di g(x). Risulta Allora:

D'altra parte e quindi anche:

La precedente uguaglianza fornisce il metodo di integrazione per scomposizione in somma che consiste nel trasformare l'integrale di un espressione elementare in una somma di integrali immediati in genere di tipo generalizzato.

Integrazione per parti

Siano f e g funzioni derivabili in un intervallo con derivata continua(??). Essendo:

.

E' quindi lecito integrare membro a membro questa uguaglianza.

Ne segue, utilizzando anche la proprietà distributiva dell'integrale:

e di qui:

.

Questa uguaglianza si chiama formula di integrazione per parti.

Nel prodotto integrando a primo membro la funzione f(x) si suole chiamare fattore finito e il differenziale 'g'(x) dx' fattore differenziale.

Col metodo di integrazione per parti si risolve il calcolo dell'integrale al primo membro di G a quello dell'integrale a secondo membro. E' possibile, e in ciò coinsiste l'utilità del metodo, che quest'ultimo integrale sia di un tipo che sappiamo calcolare mentre ciò non accade per l'integrale a primo membro. cfr. Esempi pag 23.

Osservazione

In alcuni casi, per calcolare l'integrale, è necessario applicare ripetutamente la regole di integrazione per parti.

Integrazione delle funzioni razionali.

Consideriamo l'integrale:

dove P₁ e P₂ sono due polinomi di grado m e n. Se m n è possibile dividere i due polinomi e se indichiamo con q e r il polinomio quoziente e il polinomio resto si ottiene: da cui dividendo per P₂ e integrando:

Ne segue che il calcolo dell'integrale è ricondotto al calcolo dell'integrale è ricondotto al calcolo del polinomio q(x) che è riportato al calcolo dell'integrale di una funzione con un numeratore di grado inferiore a quello del denominatore.

In ogni caso, dunque è necessario dunque calcolare l'integrale di una funzione razionale con grado inferiore a quello del denominatore.

Per calcolare l'integrale di una tale funzione razionale si scompone la funzione r(x)/P₂(x) in una somma di funzioni razionali del tipo:

Per semplicità cominciamo esaminando il caso in cui P₂ sia un polinomio di 2^ grado e quindi r(x) sia un polinomio di grado minore di 2:

P₂(x)= ax²+bx+c; r(x)=mx+n.

In tal caso per calcolare l'integrale:.

E' necessario distinguere i tre casi D>0; D<0; D

cfr. esempi pag 27.

La scomposizione in fattori semplici si esegue seguendo le seguenti due regole:

1)Se il polinomio P₂ (x) una volta scomposto in fattori contiene una potenza del tipo (ax+b)ⁿ si introducono nella scomposizione n parti semplici del tipo:

2) Se il polinomio P₂(x) contiene una potenza del tipo (ax²+bx+c)^m con D=b²-4ac<0, si introducono nella scomposizione m fratti semplici del tipo:

.

Metodo di integrazione per sostituzione

Abbiamo visto quando abbiamo generalizzato la tabella degli integrali immediati che f(x) è una funzione continua e x=j(t) è una funzione derivabile in un intervallo con derivata continua, risulta:

Se F(x) è primitiva di f(x), sicché allora la funzione G(t)=F(j(t)) è primitiva di f(j(t)) j'(t) e quindi .

Supponiamo che la funzione j(t) sia invertibile, in tal caso, essendo x=j(t) t=j (x) dalla formula precedente si deduce:

tale formula si interpreta come segue: se la funzione G(t) è primitiva di (sicché risulta:) allora la funzione composta è primitiva della funzione f(x) e quindi .

L'uguaglianza fornisce il metodo di integrazioneindefinito per sostituzione: Per calcolare l'integrale si sceglie un opportuna funzione invertibile j(t) e mediante una delle sostituzioni equivalenti x=j(t) o t=j(x)^-1 , si perviene all'integrale .

Se si riesce a calcolare quest'ultimo integrale e G(t) è una primitiva di allora risulta .

Sostituzioni Razionalizzanti.

Abbiamo visto che una opportuna sostituzione x=j(t), oppure t=j(x)^-1, può essere utle per il calcolo integrale. In genere tale scelta della funzione invertibile  j(t) dipende dall'integrale in esame .

Vi sono però alcuni classi di integrale che si risolvono con sostituzioni standard le quali si chiamano sostituzioni razionalizzanti in quanto trasformano l'integrale in un integrale di funzione razionale.

Nel seguito con il simbolo denoteremo un espressione razionale delle funzioni e cioè un espressione elementare nella quale le funzioni sono tra di loro legate soltanto da operazioni razionali. cfr. tabella pag 36.

Integrali Definiti.

Valgono le seguenti regole di integrazione definita.

   dove x=j(t) t=j (x).

Tali formule, unite alla proprietà distributiva.

forniscono le regole di integrazione definita rispettivamente per parti, per sostituzione, per scomposizioni di somma. cfr. esempi pag 40.