Il teorema «generale» di immunizzazione per shift additivi

Il teorema «generale» di immunizzazione per shift additivi

L'impostazione di Redington (riformulata nel TEOREMA 3) fornisce una terna di condizioni per l'immunizzazione del valore di un portafoglio, definito a copertura di un flusso di impegni (uscite multiple), rispetto a shift additivi infinitesimi della struttura dei rendimenti; il TEOREMA 3 non può essere considerato una generalizzazione propria, al caso di uscite multiple, del «teorema di immunizzazione» di Fisher e Weil (enunciato, in forma equivalente all'originaria, nel TEOREMA l), che come visto è valido nel caso di singolo impegno, ma per shift di ampiezza finita.

La caratterizzazione di un teorema generale (valido per uscite multiple e shift additivi «finiti») può essere impostata osservando che il problema di copertura di un flusso di impegni y è «scomponibile» in tante operazioni di copertura, ognuna definita in riferimento ad una singola posta di y (e quindi analizzabile nello schema di Fisher e Weil).

Su questa linea, condizione sufficiente per l'immunizzazione è che il portafoglio di copertura x possa essere scomposto in «m portafogli», ciascuno dei quali immunizzi «separatamente» uno degli m impegni del flusso y, in modo conforme alle condizioni del TEOREMA 1.

È possibile formulare il criterio della scomponibilità enunciando quello che può essere considerato il teorema «generale» di immunizzazione per shift additivi (il teorema va attribuito a Fong e Vasicek).

TEOREMA 4

Sia:

(t,s) l'intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t,

x ed y due flussi ad elementi non negativi, con scadenze

t_l, t₂, , t_m  ( t < t_l ≤ t₂ ≤ . ≤ t_m).

Se la curva dei rendimenti subisce nell'istante t⁺, immediatamente successivo a t, uno shift additivo di ampiezza aleatoria, allora il valore post-shift del flusso x sarà non-minore del valore post-shift di y

W(t⁺,x) ≥ W(t⁺,y) ,

se e solo se valgono le seguenti tre condizioni:

W(t,x)  = W(t,y)

D(t,x)  = D(t,y)

( j = 1, 2, ., m ).

Il TEOREMA 4 ricalca la struttura dei teoremi originari dell'immunizzazione classica; richiede che i flussi di copertura x e di indebitamento y soddisfino il vincolo di bilancio e condizioni sui livelli di dispersione temporale dei «valori attuali» delle poste. Più precisamente, le condizioni (3) costituiscono i cosiddetti vincoli «MAD» (Mean Absolute Deviation) e possono essere lette come richiesta che il flusso di copertura x sia più disperso nel tempo del flusso delle passività y, essendo la dispersione misurata in termini di «dispersione media assoluta» (momento assoluto del primo ordine) rispetto a ciascun punto di ascissa (scadenza) t_j (con j = 1, 2, ., m ) con pesi i valori attuali relativi dei singoli pagamenti.

Con riferimento alla linea dimostrativa, è agevole definire in modo conclusivo il ruolo del teorema «generale»di immunizzazione nell'ambito della teoria classica.

Innanzitutto, va precisato che il TEOREMA 4 è valido non soltanto per shift additivi, ma più in generale per shift «convessi», e che le condizioni (1), (2) e (3) sono necessarie (e sufficienti) per l'immunizzazione da shift convessi.

Inoltre, utilizzando il «teorema di equivalenza», si dimostra che il teorema di Redington è contenuto nel TEOREMA 4; è agevole dimostrare che anche l'immunizzazione nel senso di Fisher e Weil è garantita dalle condizioni del teorema generale: infatti, se si ipotizza un flusso di passività y ridotto ad un'unica uscita L all'istante H (coincidente con uno dei tempi t_k), si vede facilmente che i vincoli di tipo MAD (3) sono sempre soddisfatti purché siano soddisfatti il vincolo di bilancio e la condizione di duration.