Risoluzione di un sistema di equazioni

In algebra capita spesso di dover risolvere un gruppo di equazioni che debbono essere verificate contemporaneamente; in questo caso si dice che le equazioni da risolvere costituiscono un sistema di equazioni. La risoluzione di un sistema di equazioni, ottenibile mediante tecniche algebriche diverse, consiste perciò nella ricerca di un insieme di valori che soddisfino tutte le equazioni assegnate. Ad esempio, dato il sistema lineare composto dalle due equazioni lineari in due incognite

si isola l'incognita y nell'equazione (2) (y = 5 - 2*x), per poi sostituire l'espressione trovata nell'equazione (1)

Questo passaggio (metodo della sostituzione) riduce il problema alla soluzione di un'equazione lineare in una sola incognita:

o

cosicché

Sostituendo la soluzione trovata nell'equazione (1) o, equivalentemente, nella (2), si ottiene

Si può adottare un metodo più rapido, osservando che, se si moltiplicano entrambi i membri dell'equazione (2) per 4, si ricava

Sottraendo l'equazione (1) dalla (2), si ha 5*x = 10, e quindi x = 2. La risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a più incognite è una delle applicazioni principali dell'algebra lineare, una delle parti fondamentali dell'algebra moderna.