Funzioni monotone in un intervallo

FUNZIONI MONOTONE IN UN INTERVALLO

Ci proponiamo ora di caratterizzare le proprietà del limite di funzioni che risultino monotone in un intervallo.

Innanzitutto, come per le successioni, anche per le funzioni vale il seguente

Teorema sul limite delle funzioni monotone

Sia f(x) una funzione monotona nell'intervallo con cioè. Come si suol dire, monotona a sinistra del punto . Vale la seguente legge

crescente in

decrescente in

Rinviamo per motivi di brevità la dimostrazione ricordando che tale dimostrazione è simile a quella che abbiamo fatto per le successioni.

Osservazione 1

Si noti che, essendol'estremo destro dell'intervallo se risulta che

Osservazione 2 (notevole)

Supponiamo che la funzione f sia crescente nell'intervallo . Per il teorema sul limite delle funzioni monotone risulta allora

Evidentemente se vale l'uguaglianza f è continua in b, se invece vale la disuguaglianza stretta f ha in b una discontinuità eliminabile.

Osservazione 3 (notevole)

Abbiamo enunciato il teorema supponendo f monotona a sinistra del punto ma è evidente che i risultati sussistano anche a destra di e cioè in con . In tal caso valgono le implicazioni:

crescente in

decrescente in

Ne segue che, se f è crescente nell'intervallo compatto se se allora esistono finiti i limiti sinistro e destro di f in e si ha (cfr. figura pag.18)

Evidentemente se almeno una di queste due disuguaglianze è stretta (cioè non vale l'uguale) allora f ha in una discontinuità di prima specie, altrimenti f è continua in . Analogamente se f è decrescente in

Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone, tenendo presente il diagramma, si deducono facilmente i seguenti limiti notevoli delle funzioni elementari:

(v. pag. 18 e 19 con i grafici)

Criterio di continuità delle funzioni monotone

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I qualsiasi ed ivi monotona. Vale l'implicazione

(il condominio di f(x) è un intervallo)( f(x) è continua in I)

Dim.

Supponiamo, per fissare le idee, f(x) crescente in . Osserviamo che in tal caso per la crescenza di f(x) risulta , sicché . Si tratta di dimostrare che se e cioè se la funzione f(x) assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) allora f(x) è continua in .

Sia un punto interno ad di discontinuità per la funzione. Essa è una discontinuità di prima specie (v. figura pag. 20) e posto

           

Risulta

Ne consegue che f(x) non può assumere tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) perché in tal caso, essendo , dovrebbe assumere anche tutti i valori compresi tra ed e ciò non è vero. Analogamente si ragiona per gli estremi di .

Corollario

Le funzioni elementari sono tutte continue nel loro insieme di definizione

Dim.

Basta osservare che una funzione elementare o è una funzione monotona in un intervallo che per condominio un intervallo come le funzioni , oppure è noto che il suo insieme di definizione si può scomporre in intervalli in ciascuno dei quali la funzione è monotona ed ha per condominio un intervallo Ciò accade per la potenza ad esponente intero con n pari, .

In ogni caso per il criterio di continuità delle funzioni monotone, ogni funzione elementare è continua.