Sviluppi in serie

SVILUPPI IN SERIE

DEFINIZIONE

Data una funzione y=f(x) definita in un dominio D e sia x₀ appartenente a D.

Se in un opportuno intorno di x₀ appartenente a D la funzione y=f(x) ammette derivata di qualsiasi ordine allora si verifica che:

questa serie è una serie di potenza detta serie di Taylor relativa alla funzione f(x) nel punto x₀ con la convenzione che:

.

Nel caso in cui il punto x₀ coincide con l'origine degli assi (x₀=0) lo sviluppo in  serie di Taylor diventa:

e prende il nove di sviluppo in serie di Mac-Laurin rispetto alla funzione y=f(x).

Lo sviluppo in serie di Mac-Laurin si ottiene partendo dalla serie di Taylor e ponendo il punto x₀=0.

Nel momento in cui abbiamo  la y=f(x) con la condizione che questa funzione sia indefinitamente derivabile possiamo subito calcolare la sviluppo in serie ma non è detto:

1. che la serie trovata converga;
2. se converge, non è detto che converge proprio nella f(x).

Per risolvere il problema utilizziamo una CONDIZIONE SOLO SUFFICIENTE:

se f(x) è una funzione indefinitamente derivabile nel dominio D e se esiste un numero K>0 tale che:

e sia

allora la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor  in D (o Mac-Laurin se al posto di si pone ): tale serie converge ed ha somma proprio f(x).

Se K viene determinato allora le funzioni sono dette EQILIMITATE.

Le serie di TAYLOR e di Mac-Laurin essendo serie di potenze sono tutte uniformemente convergenti e valgono tutte le proprietà e criteri visti per le serie di potenze.

COME OTTENERE UNO SVILUPPO

IN SERIE DI MAC-LAURIN

Consideriamo y=f(x)= e^x e vogliamo calcolare la serie di Mac-Laurin. Dobbiamo calcolare cinque o sette derivate successive della funzione e relative f(0).

f(x) = e^x                      f(0) = 1

f'(x) = e^x                                  f'(0) = 1

f''(x) = e^x                                f''(0) = 1

f'''(x) = e^x                             f'''(0) = 1

^.......

fⁿ(x) = e^x                                  fⁿ(0) = 1

A questo punto dobbiamo creare la serie. in genere la difficoltà si ha nel capire come si generano le fⁿ(0) e trovare il caso generale. In questo caso è molto semplice (essendo tutti i valori uguali ad uno) e quindi la serie  è:

ancora non sappiamo se converge o meno e quindi risolvo

e dato che si riece a trovarlo anche =F(x)=e^x e le funzioni sono equilimitate.

SVILUPPI NOTEVOLI IN SERIE  DI MAC-LAURIN