GEOMETRIA
IPERBOLICA
Il primo scienziato a credere nell'esistenza di una geometria che
negasse il V postulato fu Gauss, ma i suoi studi rimasero sconosciuti per più
di cinquant'anni a causa del timore della reazione che una pubblicazione così
ardita avrebbe provocato. Infatti, Gauss visse all'inizio del XIX secolo,
periodo durante il quale era impensabile la realizzazione di un sistema
geometrico in disaccordo con quello euclideo, in quanto Kant, il più celebre
filosofo dell'epoca, aveva più volte sostenuto la geometria euclidea come
esatta in quanto valida per descrivere lo spazio reale ed inerente alla mente
umana. I primi studiosi che teorizzarono un nuovo modello geometrico furono il
russo Lobatceskij e l'ungherese Bolyai attorno al 1830, a cui poi si aggiunsero
altri studiosi fra cui Klein. Il loro modello, inizialmente chiamato "geometria
immaginaria" o "pangeometria" (oggi si chiama "geometria iperbolica"), negava
appunto il V postulato che venne così sostituito: "per un punto P non appartenente ad una retta r si può condurre più di
una parallela alla retta data" .
Per costruire un modello geometrico, è, inoltre, assolutamente
necessario definire gli elementi primitivi del modello stesso. In questo caso
gli elementi primitivi sono il piano, la retta e il punto così definiti : il
piano è costituito dalla superficie interna di un qualunque cerchio, il punto è
un punto qualsiasi all'interno del cerchio stesso, mentre la retta è una
qualunque corda della circonferenza. È difficile trovare una superficie reale in
cui sia possibile vedere praticamente le teorie esposte da Klein, ma quella che
meglio si adatta è la superficie di una sella, meglio detta pseudo sfera, cioè
una superficie avente curvatura negativa.
La figura a lato presenta un esempio di un triangolo disegnato su una
pseudo sfera corrispondente ai triangoli piani in quanto formato da linee
geodetiche ma avente somma degli angoli interni minore di 180°.
È altrettanto evidente dall'altra figura a lato come presa una retta r
e un punto P ad essa complanare esistano più parallele alla retta r passanti
per P.
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