Il teorema di immunizzazione «a minimo rischio»

Il teorema di immunizzazione «a minimo rischio»

L'immunizzazione finanziaria, nell'ipotesi di shift «qualsiasi», può essere caratterizzata utilizzando un risultato fondamentale dimostrato nel seguente teorema.

TEOREMA 5

Sia:

(t,s) l'intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t,

x e y due flussi ad elementi non negativi con scadenze

t_l, t₂, , t_m ( t < t_l ≤ t₂ ≤ . ≤ t_m) , che abbiano stesso valore al tempo t :

W(t,x)  = W(t,y) .

Se

la curva dei rendimenti subisce nell'istante t⁺, immediatamente successivo a t, uno shift tale che    

(t⁺,s) = (t,s) + Y(s) ,

[con Y(s) funzione dotata di derivate prima continua e superiormente limitata],

e (se) valgono le condizioni:

D(t,x) = D(t,y)

( j = 1, 2, ., m )

allora tra il valore post-shift del flusso x e il valore post-shift del flusso y sussisterà la relazione

W(t⁺,x)   ≥ W(t⁺,y) + W(t,y) K[D⁽²⁾(t,x) - D⁽²⁾(t,y)] ,

essendo K una variabile aleatoria a valori reali, indipendente dai flussi x e y.

Ebbene, K (nell'ipotesi che gli shift non siano necessariamente convessi) può assumere determinazioni di segno «qualsiasi», perciò in generale il valore «netto» post-shift potrà essere positivo o nullo, ma anche negativo.