L'elaborazione dei dati: le medie

Le medie rientrano, come del resto i rapporti statistici, nella fase dell'elaborazione dei dati, essendo degli indici riassuntivi che permettono di evidenziare le tendenze dei fenomeni studiati.

Passiamo ad esaminare i vari tipi di medie utilizzati in statistica.

Media aritmetica

Supponiamo ad esempio di avere la seguente successione dei dati:

x ₁+ x ₂+ x₃ . + x_n , la media aritmetica è data da :

M_A= x ₁+ x ₂+ x₃ . + x_{n =} x_i

n n

dove il simbolo S indica la somma dei termini x_i, con i che assume valore da 1 a n.

Se supponiamo che i termini della precedente successione si presentino con un certa frequenza n possiamo ottenere la media aritmetica ponderata.

Dove le .frequenze n _l, n₂ . . n_n si chiamano pesi

M_A= x ₁* n _l +x _{2 *} n₂+ . +x_n * n_{n =} x_{i *} n_i

n _l, n₂ . . n_n n_i

Vediamo un esempio pratico.

N. 10 studenti. di una classe hanno conseguito i seguenti voti in statistica: 6,6,6,7,7,8,8,5,5,4 che riportati in una tabella risultano:

M_A= x_in_i = 4*1+5*2+6*3+7*2+8*2 = 62= 6,2
n 10 10

La media aritmetica dei voti è stata 6,2.

Se la tabella anziché voti considera valori divisi in classi od intervalli si può scegliere come x_i il valore centrale della clas­se che possiamo indicare con x_i.

Ad esempio se abbiamo una tabella che considera le classi in statura, da cm. 150 a cm. 160, da cm. 160 a 170 e così via, si possono prendere rispettivamente i valori medi cm. 155 e 165.

La media aritmetica gode delle seguenti proprietà

Media geometrica

Data la successione:

x ₁ x ₂ . x_n la media geometrica sarà:

Supposto che gli x_i termini si presentino con una certa frequenza (o peso n si chiama media geometrica ponderata,

ed è la radice che ha per indice la somma dei pesi e per radicando il prodotto dei termini ciascuno elevato al rispettivo peso.

Anche la media geometrica gode di alcune proprietà

Media armonica

Data la successione x₁, x₂, , x_n, ricordiamo che la media aritmetica era data da:

M_A= x ₁+ x ₂ . + x_n = x_i

n n

per cui la media armonica data la sua definizione sarà :

M_AR= n = n

1/x₁ + 1/x₂ +... + 1/x_n 1/ x_i

Supposto che gli x_i termini della successione si presentino con una certa frequenza (o peso) n si definisce media armonica ponderata.

M_ARP=    n₁ + n₂ + ..+ n_n = n_i

1/x_{1 *} n₁ + 1/x₂ * n₂ +... + 1/x_n * n_n 1/ x_{i *} n_i

Esempio:

si calcoli la media armonica della succes­sione dei termini 3,5,7,9 ripetuti rispettivamente 2, 3, 5, 6 volte.

M_ARP=    2 + 3 + 5 + 6 = 6,043165467

Media quadratica

Data la successione x_i, x₂ x₃ la media quadratica sarà data da:

e nel caso della media quadratica ponderata avremo:

Esempio: la media quadratica dei numeri: 3, 5, 10, 12, 15 è:

Si usa la media quadratica quando si hanno dati positivi e negativi e si vuole eliminare l'influenza del segno.

Esempio:

Come si vede con la media aritmetica non si ottiene un risultato rappresentativo:

Media aritmetica =

Se infatti i dati esprimono errori di misurazione, la media ottenuta, cioè -1, non è attendibile perché l'errore minore è 3 e l'errore maggiore è 9, come si vedrà invece, con la media quadratica si ottiene un risultato corretto:

Media quadratica =

Medie lasche

Vediamone i tipi principali: il valore centrale, la mediàna, i quartili, la moda

Il valore centrale rappresenta il centro del campo di variazione della variabile statistica, in altre parole è dato dalla semisomma dei valori estremi. Data la successione x₁ , x ₂ , .. , x_n il valore centrale è dato da:

v.c.= x ₁ + x_n

2

dove x₁ è il valore più piccolo e x_n il valore più grande tra quelli osservati.

La mediana rappresenta il termine che in relazione ad una successione di termini posti in ordine crescente o decrescente, occupa il posto centrale, cioè bipartisce la successione nel senso che lascia ugual numero di termini da una parte e dall'altra. Inoltre se il numero dei termini è dispari la mediana coincide con il termine che occupa la posizione centrale della distribuzione, mentre se il numero dei termini e' pari la mediana coincide con la media aritmetica dei due termini che occupano le posizioni centrali.

Esempio:

nella serie 20, 35, 45, 50, 65    (n dispari) la mediana è data da 45.

nella serie: 15,23,30,40,67,88 (n pari) la mediana è data da 30+ 40 = 35

Nel caso in cui i termini si presentano con una certa frequenza, occorre un calcolo un po' più complicato. Vediamo un esempio chiarificatore.

Data la successione: 2,3,4,5,6 con frequenze (o pesi) rispettivi: 15,13,21,10,11. La somma delle frequenze è 70 e la sua semisomma è 35.

Si procede sommando alla semisomma le frequenze ottenendo:

Si può osservare come la frequenza che rende la somma progressiva delle frequenze uguale o superiore alla semisomma delle frequenze (35) è 21 a cui corrisponde il termine 4 che rappresenta appunto la mediana.

Cioè il trentacinquesimo termine è 4

La mediana gode di 2 importanti proprietà

La definizione di quartile è molto simile a quella della mediana.

Il 1° quartile rappresenta quel valore al di sotto del quale stanno 1/4 dei valori.

I1 2° quartile coincide con la mediana in quanto rappresenta quel valore al di sotto del quale stanno 1/2 dei valori.

I1 3° quartile è quel valore al di sotto del quale stanno i 3/4 dei valori.

Più semplicemente si può anche dire che il 1° quartile è quel valore che bipartisce i termini inferiori alla mediana e il 3° quartile è quel valore che bipartisce i termini superiori alla mediana.

Vediamo un esempio pratico.

Data la seguente successione 1,3,7,9,13,17,23,27,35 determinare il 1°, il 2° e il 3° quartile.

Determiniamo per prima cosa la mediana che coincide con il 2° quartile.

Essendo n dispari:

M_e = Q₂ = N +1 = 9 + 1 = 10

Cioè il 5° termine, che coincide con 13, è la meridiana.

A questo punto sapendo che il 1° quartile rappresenta il termine che occupa il posto centrale dei dati che stanno a sinistra della mediana, avremo considerando la successione 1,3,7,9 (N pari).

Q₁ = 3 + 7 = 10 = 5

2 2

Per quanto riguarda il 3° quartile sapendo che occupa il posto centrale dei dati che stanno a destra della mediana, avremo:

Q₃ = 23 + 27 = 50 = 25

2 2

La moda o valore modale può essere definita come il termine che data una seriazione, presenta la frequenza maggiore e si indica con M_o.

Esempio:

La moda è rappresentata dal carattere D che presenta la frequenza massima (40).

Ancora più semplice è l'individuazione della moda se ricorriamo ad una rappresentazione grafica:

Come si vede la moda è rappresentata dalla ascissa (D) cui corrisponde l'ordinata massima (40).

A differenza della media aritmetica che può essere anche un termine astratto, la moda è sempre rappresentata da un termine della seriazione.

Rispetto alle medie di calcolo viste nelle precedenti lezioni che considerano tutti i valori di una distribuzione di dati la mediana è preferibile nei casi in cui la successione presenta estremi molto irregolari rispetto ai valori centrali.

Inoltre la mediana e la moda sono di facile determinazione.