Le operazioni e le struttura algebriche

Il raggruppamento dei simboli algebrici e la sequenza delle operazioni vengono stabiliti utilizzando diversi simboli matematici; fra questi particolare importanza rivestono le parentesi tonde ( ), quadre [ ] e graffe .

I segni delle operazioni algebriche sono gli stessi delle corrispondenti operazioni aritmetiche: quello di addizione (+), di sottrazione (-), moltiplicazione (×) e divisione (÷). Nel caso della moltiplicazione, il simbolo '×' spesso si omette, come nell'espressione a*b*c, che rappresenta il prodotto di a, b e c, o si sostituisce con un punto, come nell'espressione a · b. La divisione si indica generalmente per mezzo di barre orizzontali o, alternativamente, di barre trasversali (/). È importante fare attenzione a quali termini si estendono le barre di divisione: ad esempio, con la scrittura a*x + b/c - d*y si intende che a*x e d*y non fanno parte della divisione rappresentata da b/c, mentre la scrittura (a*x + b)/(c - d*y) indica la frazione

Per risolvere o semplificare un'espressione algebrica, per prima cosa si eseguono le moltiplicazioni, poi le divisioni, seguite dalle addizioni e dalle sottrazioni. Le parentesi vanno svolte iniziando dalle tonde, per seguire con le quadre e infine le graffe. Il tipo di parentesi corrisponde solitamente alla posizione che questa occupa: le parentesi più interne sono dunque le tonde, per seguire con le quadre e le graffe, come indica l'esempio qui sotto:

Nelle operazioni tra polinomi valgono le comuni leggi dell'aritmetica, ma, mentre il dominio di applicazione dell'aritmetica è l'insieme dei numeri razionali, l'algebra e la geometria utilizzano i numeri reali, ovvero l'insieme dei numeri razionali e irrazionali, e i numeri complessi.

Le cose dette qui di seguito sono molto simili agli assiomi dell'aritmetica, ma formalmente esistono delle differenze, che non analizzeremo.

La somma di due numeri reali a e b è ancora un numero reale, che si indica con a + b. I numeri reali sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione: ciò significa che applicando una di queste operazioni a numeri reali si ottiene come risultato un numero reale.

Vale la proprietà associativa dell'addizione, ossia il raggruppamento dei termini di una somma non incide sul risultato. Così vale che:

a + b + c = a + (b + c)

Dato un numero reale a, esiste un numero reale detto identità additiva, lo zero (0), o elemento neutro rispetto all'addizione, tale che:

a + 0 = 0 + a = a

Per ogni numero reale a, esiste un numero detto l'inverso additivo di a (-a), o elemento opposto di a, tale che

(a) + (-a) = 0

Vale la proprietà commutativa dell'addizione, ossia l'ordine dei termini della somma non influisce sul risultato dell'operazione:

a + b = b + a

Qualunque insieme di numeri che goda delle prime quattro proprietà si dice gruppo. Se vale anche la quinta proprietà, l'insieme si dice gruppo abeliano, o commutativo.

Per la moltiplicazione valgono leggi simili a quelle dell'addizione.

Il prodotto di due numeri reali a e b è ancora un numero reale, che si indica con a · b o a*b (l'insieme dei numeri reali è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione).

Vale la proprietà associativa della moltiplicazione, ovvero:

(a*b)*c = a*(b*c)

Dato un numero reale a, esiste un numero reale detto identità moltiplicativa (1) o elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, tale che:

a*(1) = 1*(a) = a

Per ogni numero reale a diverso da zero, esiste un numero reale detto inverso moltiplicativo (che si indica con a^(-1) o 1/a) o semplicemente l'inverso di a, tale che:

a*(a^(-1)) = (a^(-1))*a = 1

Vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, ossia l'ordine dei fattori non modifica il risultato della moltiplicazione:

a*b = b*a

Qualunque insieme di elementi che obbedisca a queste cinque leggi è un gruppo abeliano, o commutativo, rispetto alla moltiplicazione. L'insieme dei numeri reali, escluso lo zero (perché l'operazione di divisione per zero è inaccettabile), costituisce un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione.

Un'altra importante proprietà dell'insieme dei numeri reali mette in relazione le operazioni di addizione e di moltiplicazione in due leggi distributive, come segue:

a (b + c) = a*b + a*c

(b + c)*a = b*a + c*a

Qualunque insieme di elementi dotato di una relazione di uguaglianza, per i quali è definita una coppia di operazioni (come l'addizione e la moltiplicazione) che obbediscono a tutte le leggi dell'addizione, alle leggi della moltiplicazione e alle leggi distributive, costituisce un campo.

Quello che segue è un esempio di prodotto tra un binomio e un monomio:

Mediante un procedimento analogo si può calcolare il prodotto fra polinomi di un numero qualunque di termini: in tal caso si moltiplica ciascun termine di un polinomio per ogni termine dell'altro. Il prodotto di un binomio per un trinomio, ad esempio, dà il seguente risultato:

Quando è possibile, dopo aver eseguito l'operazione, è conveniente semplificare l'espressione 'raccogliendo' ordinatamente tutti i termini dello stesso grado:

Data un'espressione algebrica complicata, spesso è utile fattorizzarla, ossia scomporla nel prodotto di fattori più semplici. Ad esempio, il polinomio:

2*x^3 + 8*x^2y

può essere scomposto in fattori e riscritto nella forma 2*x^2*(x + 4*y). La determinazione dei fattori di un polinomio assegnato può essere più o meno intuitiva e, in alcuni casi, è necessario procedere per tentativi. Non tutti i polinomi, comunque, possono essere fattorizzati per mezzo di coefficienti reali; in questo caso si parla di polinomi primi.

Alcuni metodi di scomposizione in fattori sono illustrati nei seguenti esempi:

Talvolta il raggruppamento dei termini simili può semplificare la fase di scomposizione in fattori, come nel seguente esempio:

È spesso conveniente isolare, se esiste, il massimo fattore comune a tutti i termini di un polinomio. Ad esempio, nell'espressione 9*x^3 + 18*x^2, il numero 9 è un fattore comune a entrambi i termini, come pure x^2. Quindi si può scrivere 9*x^2*(x + 2) dove 9*x^2 è il massimo fattore comune dei termini del polinomio (in questo caso, un binomio). Analogamente, per il trinomio 6*a^2*x^3 + 9*a*b*x + 15*c*x^2, il numero 3 è il massimo fattore comune della parte numerica, ossia dei coefficienti 6, 9 e 15, mentre x è il massimo fattore comune della parte letterale. Così, il massimo fattore comune del trinomio risulta essere 3*x.

Per sommare due o più frazioni algebriche è necessario determinarne il minimo denominatore comune, che coincide con il minimo comune multiplo dei denominatori. Il procedimento è analogo a quello valido per le frazioni aritmetiche.

Anche in algebra, il minimo comune multiplo di diverse espressioni algebriche è l'espressione di grado minimo e con il minimo coefficiente che possa essere divisa senza resto per ciascuna delle espressioni assegnate. Così, per determinare il minimo comune multiplo delle espressioni algebriche 2*x^2*y, 30*x^2*y^2 e 9*a*y^3 è necessario innanzitutto scomporre in fattori primi i tre termini: si osserva poi che il minimo comune multiplo della parte numerica si ottiene dal prodotto 2 · 3 · 3 · 5, che ha per risultato 90, poiché i fattori primi dei coefficienti numerici sono rispettivamente 2, 2 · 3 · 5, e 3 · 3. Per quanto riguarda la parte letterale, si osserverà innanzitutto che, comparendo una sola volta, la costante a va inclusa tra i fattori del minimo comune multiplo; tra le variabili, i fattori comuni e non, presi col massimo esponente, sono x^2 e y^3, cosicché, in definitiva, il minimo comune multiplo delle tre espressioni risulta essere 90*a*x^2*y^3.