Il fattore di scala e la metrica dell'universo

Il fattore di scala e la metrica dell'universo

Nella cosmologia relativistica non è possibile parlare di raggio dell'universo. La grandezza R che compare nelle equazioni va interpretata come un fattore di scala.

Un esempio servirà a chiarire.

Immaginiamo un mappamondo sul quale sia rappresentata la superficie terrestre. Ogni luogo è individuato tramite le sue coordinate geografiche (latitudine e longitudine). Supponiamo di essere interessati unicamente alla latitudine, cioè alla distanza angolare di un luogo dall'equatore.

Ad esempio Roma si trova a 42° a nord dell'equatore. Noi sappiamo che 1° di latitudine corrisponde a circa 110 km. Così per calcolare la distanza in km di una città dall'equatore dobbiamo moltiplicare la sua coordinata (latitudine) per un fattore che in questo caso è 110 km/grado.

Roma perciò disterà 42° x 110 km/grado = 4620 km dall'equatore.

Immaginiamo ora che la terra improvvisamente si gonfi uniformemente, raddoppiando il suo diametro. Tutte le distanze tra le diverse località raddoppieranno. Ma le coordinate dei diversi luoghi rimarranno le medesime e noi potremmo continuare ad utilizzare il nostro mappamondo, con l'avvertenza che ora 1° di latitudine non vale più 110 km, ma 220 km.

Roma disterà ora 42° x 220 km/grado = 9.240 km dall'equatore. In altre parole ogni volta che la terra cambia dimensioni, noi possiamo mantenere inalterate le coordinate dei diversi luoghi ed aggiornare il fattore di conversione che chiameremo fattore di scala. Se la terra raddoppia il suo diametro, raddoppiamo anche il fattore di scala, se lo triplica lo triplichiamo e così via.

Per l'universo il ragionamento è analogo. Poiché l'espansione si suppone avvenga radialmente per tutti i punti, sarà sufficiente un'unica coordinata spaziale x che individua la posizione di un punto rispetto all'origine, arbitrariamente fissata.

Tale coordinata rimane costante durante l'espansione. E' una caratteristica del punto (come la latitudine di Roma nell'esempio precedente) e lo accompagna durante il suo moto di recessione radiale. Per questo motivo tale coordinata è detta coordinata comovente o coordinata radiale. La relatività fornisce le relazioni che legano il fattore di scala R al tempo t nei diversi modelli cosmologici. Così per ottenere la distanza effettiva D di un punto è necessario moltiplicare la coordinata per il fattore di scala.