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ESTENSIONE DEL CONCETTO DI INTEGRALE DEFINITO
FUNZIONE GENERALMENTE CONTINUA
Estendere il concetto di integrale definito
vuol dire non considerare più 
continuo in un intervallo chiuso e limitato [a;b].
Parleremo di funzione generalmente continua f(x) se in un intervallo presenta uno o più punti di discontinuità di 1a o 3a specie. In questi eventuali punti la funzione potrebbe essere definita o meno.
Considerando e>0 una quantità arbitrariamente piccola possiamo dividere l'integrale e calcolare il seguente:
il valore del limite rappresenta il valore dell'integrale dato.
L'integrale improprio dl primo tipo è nella sua forma generale così scritto:
e per caratteristica ha l'intervallo d'integrazione che non è più un intervallo limitato ma è un intervallo illimitato.
Prima di risolvere l'integrale è importante conoscere il carattere della funzione integranda. Esiste un criterio che ci permette di stabilire se la funzione integranda è convergente o divergente.
Consideriamo:
f(x) è un infinitesimo per x che tende a
infinito. Confrontando f(x) con l'infinitesimo campione 
determinare:
se 
allora il limite
diverge e anche l'integrale dato diverge
a ORDINE DI
INFINITESIMO
se a>1 allora il limite converge e anche l'integrale dato converge
conoscendo a priori il carattere dell'integrale passiamo alla risoluzione dello stesso:
tale limite da luogo a tre situazioni: il valore del limite.
.
finito = rappresenta il valore dell'integrale e troviamo
il valore dell'area R;
. infinito = la superficie R non è metrizzabile;
. = non è possibile calcolare l'integrale.
Dato 
esso risulta essere un
integrale improprio di 2° tipo quando in un generico punto c, con 
, la funzione integranda f(x) è infinita.
L'integrale si risolve "spezzando" quest'ultimo nel punto c e, considerando e>0 arbitrariamente piccolo, si risolve il seguente:
oppure:
se 
si risolve il 
se 
si risolve il 
anche per l'integrale improprio di 2° tipo esiste un criterio del definire a priori il carattere della funzione integrando.
Considerando
si determina
se a<1 la funzione integranda
e l'integrale sono convergenti
a=grado di infinito
se a
1 la funzione integrando e l'integrale sono divergenti
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