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Metodi di calcolo per le costruzioni in muratura




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METODI DI CALCOLO PER LE COSTRUZIONI IN MURATURA



1.1    MODELLAZIONE  DELLA  MURA TURA

In un edificio in muratura, la capacità di resistere ad azioni sismiche è fornita, oltre che dalla resistenza        degli   elementi   strutturali,   anche   dalla   possibilità   degli   stessi   di   subire danneggiamenti senza portare al collasso la struttura.

La progettazione di edifici con comportamento scatolare, in genere porta ad avere, in caso di sollecitazioni sismiche, dissipazioni di energia abbastanza elevate dovute al danneggiamento diffuso, legato alla crisi della muratura nel proprio piano. I meccanismi di primo modo portano invece a danneggiamenti locali che sono associati ad una dissipazione di energia piuttosto modesta.

Il comportamento più o meno duttile di un edificio è quindi legato al modo di collasso, che risulta a sua volta associato alla tipologia di muratura, alla presenza di cordoli, architravi, ammorsamenti, strutture spingenti etc…

Tutte queste variabili sono di difficile determinazione, soprattutto negli edifici esistenti, dove l’estrema variabilità degli elementi costituenti la muratura, i deterioramenti, le tipologie di posa (murature irregolari, a sacco, …), rende complessa la definizione delle caratteristiche meccaniche degli elementi resistenti.

Il  modello  strutturale  è  rappresentato  da  uno  schema  geometrico‐matematico in  cui  la struttura e le azioni agenti su di essa interagiscono. Questo schema deve riuscire ad essere il più aderente possibile alla realtà così da simulare il comportamento della struttura, sia in termini di sollecitazioni che di deformazione.

A partire dagli anni '70 sono nati diversi metodi di calcolo basati, da un lato, sull'analisi limite, dall'altro sull'analisi elastica e post‐elastica. I secondi sono presi in considerazione in questa sede e, tra loro, si distinguono i modelli a macroelementi e quelli agli elementi finiti. I metodi a macroelementi, di per più o meno semplificati, si distinguono da quelli agli elementi finiti per  un  minore  onere  di  calcolo  e,  prescindendo da  valutazioni puntuali, forniscono una migliore previsione del comportamento globale delle strutture.

 
1.1.1  ELEMENTI  FINITI

Questo metodo si basa sulla schematizzazione del continuo attraverso elementi finiti monodimensionali, piani o solidi ai quali sono associati legami costitutivi con diverso comportamento a trazione e a compressione. Generalmente le leggi costitutive sono caratterizzate da  una  resistenza a  trazione molto limitata o  nulla, caratteristica peculiare questa del materiale muratura. Il comportamento non lineare consente di seguire il corretto degrado della muratura, al crescere del carico, con la riduzione della rigidezza degli elementi che vanno via via danneggiandosi.

Possono essere utilizzati principalmente due tipologie di modello:

   Modelli   di   continuo   equivalente,   in   cui   l’elemento  finito   rappresenta               il comportamento della muratura considerata come solido omogeneo;


   Micromodelli, in cui sono discretizzati gli elementi costituenti la muratura, quindi i blocchi e i giunti di malta.

La  prima  tipologia di  modello  deve  avvalersi  di  tecniche di  omogeneizzazione per  poter definire  un  continuo  aderente  alla  tessitura  muraria.  Essendo  la  muratura  costituita  da elementi con differenti caratteristiche meccaniche, si devono stabilire dei moduli ricorrenti nella tessitura, e di questi stabilire le caratteristiche equivalenti che saranno quindi adottate dal continuo.

Nei  modelli  discontinui  invece,  ogni  componente  viene  modellato  separatamente,  ed  a ciascuno sono quindi attribuite le proprie caratteristiche meccaniche. Questo ultimo modello è perfettamente coerente dal punto di vista teorico, ma l’onere computazionale è decisamente elevato, tanto che in alcuni casi è praticamente inapplicabile.

Il metodo agli elementi finiti consente di approfondire l’analisi in zone particolari del modello, dove  sono  presenti  gradienti  di  tensione  e  deformazione,  e  di  riprodurre  qualsivoglia geometria.

I risultati di un’analisi agli elementi finiti di una muratura devono essere elaborati criticamente in quanto, fornendo valori puntuali, potrebbero avere scarso significato.

ESE MPIO  PAR E TE  MOD E LL AT A  CON  GL I  EL EME N TI  FINITI

Un’analisi agli elementi finiti può essere particolarmente utile per la validazione dei risultati di programmi o modelli di calcolo semplificati per le murature.

 
1.1.2  M ODELLI  A  MACRO E LEMENTI

I modelli semplificati, sono concepiti per ridurre l’onere computazionale dell’analisi rispetto a quella  FEM,  cercando  di  mantenere  comunque  un  sufficiente  grado  di  accuratezza  e precisione. La struttura viene ottenuta attraverso l’assemblaggio di macro‐elementi che rappresentano intere parti di muratura come maschi, fasce, nodi. In questo modo i gradi di libertà dell’intero modello sono molto più limitati rispetto ad un equivalente modello FEM.

I legami costituivi degli elementi sono generalmente definiti in ambito mono‐dimensionale. Tutti i parametri che caratterizzano un macroelemento sono da intendersi come grandezze

medie, e le informazioni relative a ciò che avviene localmente nella porzione di struttura sono grandezze generalizzate.


L’utilizzo di questi modelli presuppone una taratura dei parametri che spesso avviene tramite modelli FEM più evoluti, in quanto alcuni parametri che governano il loro funzionamento non hanno un significato fisico immediato.

I metodi semplificati si avvalgono di macromodelli fenomenologici o meccanici.

A  partire  dall’esperienza,  i  primi  colgono  il  comportamento  di  un  pannello  attraverso parametri di resistenza e rigidezza globali, i secondi attraverso i parametri meccanici attribuiti agli elementi costituenti.

Nel corso degli anni molti autori hanno sviluppato macro‐modelli a geometria fissa o variabile, capaci di rappresentare una porzione di muratura, e tra questi si può fare una distinzione tra:

   Modelli a elementi monodimensionali

   Modelli a elementi piani

I primi sono costituiti dall’assemblaggio di elementi monodimensionali: ogni parete è quindi schematizzata attraverso una serie di aste con legame costitutivo non lineare, connesse attraverso elementi rigidi.

I modelli piani considerano invece una rappresentazione piana dell’elemento murario che viene modellato attraverso uno schema discreto equivalente, oppure mediante elementi piani suscettibili di una variazione geometrica per tener conto della non linearità del materiale. Essi risultano in genere computazionalmente più onerosi rispetto ai modelli a telaio, tuttavia consentono una descrizione del comportamento d’insieme di un intero edificio con un costo computazionale sensibilmente ridotto rispetto ad una modellazione agli elementi finiti non‐ lineari.

Di seguito si riportano alcuni dei principali metodi proposti in letteratura.

1. 1.2. 1  M ETODO  POR

Questo metodo è sostanzialmente il primo dei modelli ad elementi monodimensionali.

Il metodo, teorizzato da Turnsek e Cacovic negli anni ‘70, ha l’obiettivo di rendere possibile l’applicazione dell’analisi incrementale a collasso, anche attraverso procedimenti di calcolo manuale, schematizzando la struttura in maniera estremamente semplificata. Il metodo tiene conto del contributo resistente dei soli elementi murari disposti verticalmente. Questo rende il metodo inapplicabile a edifici con impalcati in legno o in tipologia “deformabile”, tanto meno a edifici senza impalcati.

Con gli impalcati infinitamente rigidi, le pareti di ogni piano si comportamento come un sistema di molle elasto‐plastiche in parallelo che collegano due impalcati contigui. La rigidezza assiale dei setti viene trascurata, pertanto il sistema presenta complessivamente tre gradi di libertà per ogni impalcato. La rigidezza fuori piano delle pareti viene trascurata. Il legame costitutivo dei maschi murari è elastico – perfettamente plastico con limitata duttilità.

Tale metodo non considera la variazione di sforzo assiale dovuto al momento flettente globale del fabbricato.

Le analisi in campo inelastico vengono condotte applicando le forze orizzontali nel centro di massa di ogni impalcato. Tali forze si distribuiranno inizialmente a seconda delle rigidezze elastiche delle molle. L’analisi procede fino al raggiungimento del valore ultimo dello spostamento della prima parete.

Il metodo risulta opportuno per edifici con due massimo tre piani con muri poco snelli, tali che possano esplicare il comportamento in prevalenza a taglio e con fasce di piano infinitamente rigide e resistenti.


Il metodo originale prevedeva l’esclusiva rottura a taglio diagonale del maschio, come teorizzato proprio da Turnsek e Cacovic. Successivamente è stata implementata anche la possibile rottura a pressoflessione ed il metodo è stato allora chiamato POR‐flex.

1. 1.2. 2  PROCEDURA “S.A.V.E.

Questa procedura è stata sviluppata  nell’ambito del progetto S.A.V.E. (Strumenti Aggiornati per la Vulnerabilità sismica del patrimonio Edilizio e dei sistemi urbani) a partire dal 2002 ed è frutto di un lavoro di affinamento derivante dallapplicazione estensiva ad edifici scolastici in Basilicata e Molise, confronti sperimentali, confronti con altre metodologie semplificate.

Questo strumento operativo si va ad inserire ad un livello intermedio tra i metodi per l’analisi della sicurezza e i metodi per la valutazione della vulnerabilità sismica in larga scala. I primi, grazie alla disponibilità di potenti mezzi di calcolo, permettono di descrivere dettagliatamente il comportamento degli edifici a fronte di un  impegno elevato di tempo e costi per indagare le caratteristiche della struttura. I secondi forniscono una stima affidabile in senso statistico piuttosto che puntuale, basati su rilievi sommari a vista.

La metodologia utilizzata è basata su di un modello di calcolo semplificato, che permette l’analisi piano per piano, per la determinazione degli spostamenti relativi tra un piano e l’altro, ai fini della valutazione delle condizioni di operatività, e della resistenza sismica dell’organismo strutturale, ai fini della valutazione delle condizioni di collasso.

Il modello determina il taglio complessivo portato dalla struttura considerando le modalità di plasticizzazione dei maschi murari sollecitati. La resistenza all’azione orizzontale del maschi  i‐esimo, al j‐esimo piano  viene valutata secondo la formulazione di Turnsek‐ Cacovic.


La resistenza complessiva in ciascuna direzione è ottenuto sommando i contributi dei singoli maschi murari del livello in esame sollecitati parallelamente, secondo la seguente equazione:


Vj  =     Vi,j i

La rigidezza dei maschi è calcolata come indicato nel metodo POR, ed è possibile indicare un fattore riduttivo r compreso tra 0,5 e 1, che tiene conto della fessurazione.

Le grandezze E e G sono definite indirettamente e sono legate al valore della tensione tangenziale τk :                        G = 1100 τk                                  E = 6 G

La vulnerabilità sismica dell’edificio viene valutata in termini di accelerazione di picco a terra che produce il raggiungimento del livello prestazionale prestabilito.

1. 1.2.3 METODI NO TEN S ION

Il metodo, appartiene alla categoria di quelli a macroelementi bidimensionali. Contempla l’ipotesi fondamentale di comportamento monolatero del material. Poichè si considera che il materiale non sia resistente a trazione, allora gli elementi sono caratterizzati da una rigidezza variabile in funzione dello stato di sollecitazione.

Un metodo è quello di utilizzare elementi a geometria variabile, che escludono dal calcolo le porzioni di elemento che sono soggette a trazione (DAsdia e Viskovic).

MODELLO  CO N  EL EM ENT I  A  GE O M E T R I A  VA RIA B ILE

Per tener conto di eventuali meccanismi di rottura, quali ad esempio quelli legati allo schiacciamento della muratura compressa, è necessario introdurre delle verifiche sui valori massimi delle tensioni di compressione. Anche i meccanismi di rottura per taglio richiedono dei controlli sulle tensioni, in quanto l'ipotesi di comportamento no‐tension non è necessariamente cautelativa nei confronti di tali meccanismi. Si utilizzano quindi dei criteri di verifica della resistenza nei confronti di alcuni possibili meccanismi di rottura delle parti reagenti, e l'analisi viene interrotta se uno dei criteri risulta violato.

In  alternativa  si  ricerca  una  opportuna  formulazione  del  campo  di  sforzi  all'interno  del pannello (Braga e Liberatore).


MA C ROELE M EN TO A VEN T A G L I O

Nelle zone compresse, ovvero 'reagenti' degli elementi, vengono mantenute relazioni costitutive di tipo elastico lineare. L'elemento pannello è costituito da un insieme di ventagli compressi che soddisfano le seguenti ipotesi di base: le facce terminali sono rigide ed è assente qualsiasi interazione tra i lati dei ventagli elementari. Lo stato tensionale del pannello è pertanto individuato dalle tensioni radiali all'interno di ogni ventaglio, mentre sono nulle le tensioni tangenziale e circonferenziale. Sotto tali ipotesi vengono soddisfatte le equazioni di equilibrio, le relazioni costitutive e quelle cinematiche in direzione radiale; non si possono però, generalmente, soddisfare le equazioni cinematiche in direzione tangenziale. Nonostante l'elemento sia basato su una formulazione tensionale, vengono assunte come incognite gli spostamenti nodali, che definiscono gli spostamenti e le rotazioni delle facce di estremità. Tale elemento finito permette di calcolare facilmente l'energia, le forze e la matrice di rigidezza.

1. 1.2. 4 LAGOM A R S INO ET AL .

Il macroelemento fenomenologico proposto dal Prof. Lagomarsino et al. permette di cogliere i meccanismi di collasso tipici dell’elemento murario, con una formulazione non lineare, danneggiamento del legame costitutivo, degrado di resistenza softening e degrado di rigidezza.

MODELLO CI N E MATICO DE L MACR OE LE ME N T O

Considerato un pannello di larghezza b, spessore s ed altezza h, si identificano tre parti: le parti

e ②, di larghezza b, spessore s ed altezza infinitesima Δ sono poste alle estremità e sono


caratterizzate da deformabilità assiale e infinita rigidezza rispetto alle azioni taglianti; nella parte centrale, la ②, è concentrata la deformabilità tangenziale mentre la rigidezza assiale è infinita. La larghezza e lo spessore della parte 2 sono uguali a quelli delle parti ① e ③, mentre l’altezza è h.

Cinematicamente il macroelemento consente i tre gradi di libertà dei nodi i e j e quelli per i nodi di interfaccia 1 e 2. Però i gradi di libertà non sono la somma di quelli elencati in precedenza a causa delle relazioni di congruenza all’interno delle singole parti ③.

Indicando con w gli spostamenti assiani, con u quelli trasversali e con le rotazioni, si può affermare che:

u1=ui                                u2=uj

w1=w2

1=2

Il  modello  è  dunque  descritto,  dal  punto  di  vista  cinematico,  da  sei  componenti  di spostamento dei nodi di estremità (ui, wi, i, uj, wj, j) e le due componenti del macroelemento (δ, φ).

Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall’assenza di una significativa resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto elastico monolatero nelle interfacce e ③ mentre il meccanismo di rottura a taglio è schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale (si assume Ti = Tj), attraverso un legame tra le   componenti  cinematiche  ui   e   uj lo   stato  tensionale  e   le   variabili  descrittive  del comportamento  plastico  (il  grado  di  danneggiamento  α e  lo  scorrimento  plastico  γp).  Il danneggiamento per fessurazione sulle fasce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio‐ scorrimento, è, infatti, rappresentabile mediante la componente anelastica di spostamento  γp che si attiva quando viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta‐Lagomarsino consente di  descrivere, attraverso le  variabili  α e  γp l’evoluzione ciclica del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo danneggiamento a taglio.

PRESSOFLESSIONE

Nelle parti e è concentrato il comportamento a flessione.

Fintanto che il centro di pressione rimane all’interno del nocciolo d’inerzia, la sezione non è parzializzata e  sforzo normale e  momento risultano lineari in  w  e   e  disaccoppiate. Le relazioni che legano N e M allo spostamento w e alla rotazione sono quelle derivanti direttamente dalle equazioni elastiche di legame.

CIN EM A T ISM O  DE L  PROB LE MA  A SSIA LE  EL AS T I CO


(0.5)


INT ER AZI O N E W

Riassumendo, in un sistema precedentemente compresso, aumentando il momento fino alla condizione limite |p|    —2w si ha un incremento di p lineare; dopo valgono le relazione (0.4) e

b


(0.5)  fino  al  limite


dw  = 0 .  Oltre  questo  punto  aumenta  la  rotazione  ma  diminuisce  la

d


compressione verticale.

Il modello è sensibile anche alla non linearità dovuta al danneggiamento per compressione oltre a quella dovuta alla pressoflessione.

Nel disegno seguente si evidenzia lo stato di tensione e spostamento in condizioni di non linearità a compressione


STA TO  DI  T E NS I O NE  E  SPOSTAM E N T O  IN  CO ND IZION I  DI  NO N  LI NE AR I T À  A  COM P RE SSIONE

Al momento dell’entrata in campo non lineare caratterizzato dal superamento del valore di spostamento wR  =  R /k in una porzione della sezione di base, i parametri < e u identificano in modo univoco detto stato.



< =    /b                      indica   la   misura   dell’estensione  della   porzione  di   sezione interessata dalla non linearità;

u = wmax /wR                           indica la misura della duttilità richiesta alla fibra più esterna e quindi del successivo degrado di rigidezza.

Studi successivi (Penna 2002 e Resemini 2003) hanno evidenziato che il degrado possa essere approssimato linearmente senza commettere un errore apprezzabile.


Tali correzioni sono valide anche per una nuova condizione di superamento della soglia di resistenza oltre che per la riduzione delle tensioni per effetto del degrado.


TAGLIO

Dove la componente anelastica Ti comprende l’azione attritiva fche si oppone al meccanismo di scorrimento e coinvolge un parametro di danno a ed un coefficiente adimensionale c, che controlla la deformazione non elastica.

L’azione dovuta all’attrito è considerata nella seguente condizione limite:

 s  = |f| uNi   0                                                                     (0.14)

dove u è il coefficiente di attrito.

In questo modo, al variare dell’azione assiale Ni  = Nj , è possibile variare anche la resistenza a taglio del pannello.

Si assume R come funzione crescente di a fino ad un valore critico ac = 1 e successivamente decrescente per valori più elevati: questo modello può così rappresentare sia il degrado di resistenza tipico del comportamento ciclico dei pannelli murari, che il decadimento della rigidezza.

1. 1.2. 5 M ACRO EL E M ENTO DI C AL IÒ ET AL .

Il macroelemento presentato da Caliò et al. è costituito da un quadrilatero articolato i cui lati sono infinitamente rigidi e i cui vertici, incernierati, sono collegati da molle diagonali e da un insieme discreto di molle distribuite lungo il perimetro del quadrilatero.


MA C ROELE M EN TO

Queste ultime stabiliscono il legame non lineare con altri macroelementi adiacenti o supporti e vengono definite come interfaccia.

INTER FACCI A TR A MACR O E L E ME NT I

La flessibilità di questo macroelemento è data dal fatto che è interagente lungo ciascuno dei suoi lati e può quindi essere utilizzato per modellare pareti di muratura attraverso una mesh di macroelementi.

Il collasso di un elemento murario caricato verticalmente e sollecitato nel proprio piano mediante azioni orizzontali crescenti si manifesta secondo tre possibili meccanismi come rappresentato nella figura sottostante. Il meccanismo indicato in figura a è di natura prevalentemente flessionale, in esso la rottura è associata alla fessurazione in corrispondenza delle fibre tese e/o allo schiacciamento in corrispondenza delle fibre compresse. Gli altri due meccanismi di collasso rappresentati nelle figure b e c, sono meccanismi di rottura a taglio associati rispettivamente alla fessurazione diagonale e allo scorrimento.

MEC CA NI S M I  DI  ROTTURA  NEL  PIANO  DI  UN  P A NN E LLO  M U RA RIO

Di seguito si vede come la composizione del macroelemento approssimi le tre possibili rotture.


SIM ULA Z IONE  DEI  M E CCAN ISM I  DI  ROTTURA  NE L  PIA N O  DI  UN  PA NN EL LO  M U RA RIO

La rottura per pressoflessione può avvenire in due modalità: progressiva fessurazione che porta alla parzializzazione della sezione e quindi alla rotazione intorno ad un estremo; possibile schiacciamento della muratura in prossimità del bordo compresso.

Il modello è in grado di riprodurre ambedue i modi mediante le molle di interfaccia disposte ortogonalmente alla stessa. Ad esse viene assegnato un legame costitutivo con limitata resistenza a compressione e comportamento elasto‐fragile a trazione.

La prima modalità di rottura a pressoflessione verrà associata quindi alla rottura delle molle a trazione, mentre la seconda verrà associata alla plasticizzazione a compressione delle molle stesse. In questo modo la dipendenza dallo sforzo normale dei meccanismi è implicita.

ME C CAN ISM O DI C O LLA SSO PE R PRE SSOFLE SSION E

Il collasso a taglio per fessurazione diagonale è caratterizzato dalla tipica X formata dalle due fessure incrociate che si formano nella porzione centrale del pannello murario, seguendo le isostatiche di compressione. E’ il più diffuso meccanismo di collasso delle murature.

Nel caso del modello questo è simulato attraverso le due molle diagonali che uniscono gli spigoli opposti del quadrilatero articolato ed hanno un legame costitutivo non lineare.

ME C CAN ISM O DI C O LLA SSO PE R TA GL IO DI A G ONAL E

Il meccanismo di rottura per scorrimento è più inusuale perché di solito è caratterizzato da bassi sforzi normali sul pannello in muratura, oppure da grandi parzializzazioni della sezione.


Il macroelemento, e in particolare l’interfaccia, è provvisto di molle parallele al lato del quadrilatero dove sono collegate, a cui sono associati domini di scorrimento Mohr‐Coulomb.

ME C CAN ISM O DI C O LLA SSO PE R TA GL IO SC ORRIM E N T O

Anche l’instaurarsi di eventuali meccanismi combinati è consentita dal macroelemento. Cinematicamente il macroelemento è caratterizzato dai tre gradi di libertà associati ai moti

rigidi, a cui si aggiunge il grado di libertà che lo rende articolato, per un totale di quattro.

I parametri lagrangiani scelti sono stati scelti le quattro traslazioni nel piano dei lati rigidi lungo la propria direzione, ai quali è inoltre possibile associare le relative forze duali nel piano.

GRA D I DI LI BE R T À E FORZE DUA L I NEL PIA N O

Per  ogni  interfaccia è  conveniente individuare due  punti  estremi (o  nodi),  che  verranno indicati con i e j. Nel caso di una interfaccia che connette due elementi, a ognuno dei nodi corrispondono in realtà due nodi del modello, appartenenti ciascuno a uno dei due elementi collegati dall’interfaccia. Tali nodi, pur avendo nella configurazione iniziale le medesime coordinate, sono fisicamente distinti e subiranno spostamenti differenti. I quattro nodi (due per ogni elemento connesso), che corrispondono ai due estremi i e j dell’interfaccia, vengono denominati vertici dell’interfaccia.

INTER FACCI A TR A DU E EL EM E N T I

La meccanica dell’interfaccia è governata dalle molle che hanno comportamento non lineare. Le molle trasversali sono disposte ad asse costante mantenendo una disposizione simmetrica


rispetto la mezzeria del pannello, e quelle di estremità sono arretrate di metà interasse. La molla a scorrimento, quella longitudinale, entra in funzione sono se vi sono molle trasversali in compressione e a seconda del numero di queste varia la propria resistenza, simulando così la zona di contatto e l’entità trai due elementi contigui.

La cinematica nel piano dell’interfaccia è descritta in modo completo da sei gradi di libertà associati ai gradi di libertà dei lati dei pannelli interconnessi, essi sono rappresentati dagli spostamento dei quattro vertici dell’interfaccia nella direzione ortogonale all’interfaccia stessa, nonché dagli scorrimenti delle facce, superiore e inferiore. E’evidente tuttavia che se l’interfaccia risulta collegata ad un vincolo fisso saranno necessari soltanto tre gradi di libertà per definirne lo stato.

GRA D I  DI  LI BE R T À  DE LL I N TE R F ACCIA  NE L  PI ANO

I gradi di libertà locali delle interfacce non impegnano gradi di libertà indipendenti per il modello poic condividono i gradi di libertà degli elementi che connettono.

Il macroelemento fin qui descritto è adatto per l’assemblaggio di pareti piane, ciascuna delle quali esibisce un comportamento piano, collegate da cordoli e diaframmi orizzontali; tale criterio di modellazione è adatto per la simulazione della risposta di edifici il cui comportamento può essere ritenuto scatolare.

Per la modellazione di un edificio tridimensionale è necessario definire le interazioni tra le pareti modellate con il macroelemento e gli impalcati, altre pareti e cordoli, architravi o tiranti.

Gli impalcati possono essere schematizzati sia con comportamento infinitamente rigido che come diaframmi deformabili.

INT ER AZI O N E TRA MACR OE L E ME NT I E EL EM E N T O RIGID O


Con riferimento ad una generica situazione in cui l’elemento rigido risulta inserito tra due pannelli murari, la connessione con la muratura viene garantita tramite due distinte interfacce, ciascuna delle quali ha una faccia coincidente con il piano rigido dell’impalcato e l’altra afferente a uno dei due pannelli. I gradi di libertà dell’interfaccia associati ai gradi di libertà del diaframma sono legati da un vincolo di rigidità nel piano del diaframma.

Nel caso invece di impalcato deformabile, i diaframmi sono considerati di forma poligonale qualsiasi e deformabili elasticamente. Questi sono costituiti da una mesh di n elementi finiti triangolari a sei nodi, dove n rappresenta il numero di lati dell’elemento. In questo caso il diaframma possiede 2n+2 gradi di libertà.

INT ER AZI O N E  TRA  MACR OE L E ME NT I  E  DI AFR A MM A  DE FORMA B ILE

Con riferimento ad una generica situazione in cui un lato del diaframma deformabile risulta inserito tra due pannelli murari, anche in questo caso la connessione con la muratura viene garantita tramite due distinte interfacce, ciascuna delle quali ha una faccia coincidente con il lato del diaframma; in questo caso tuttavia i gradi di libertà dell’interfaccia che afferiscono al lato del diaframma non sono legati da una vincolo di rigidità ma saranno associati a gradi di libertà dell’elemento triangolare piano appartenente al diaframma.

L’interazione tra pareti ortogonali non è rappresentabile utilizzando i singoli macroelementi, perc questi hanno gradi di libertà solo nel proprio piano. La collaborazione deve essere quindi simulata tramite interfacce rigide che connettano i gradi di libertà dei pannelli.

Il macroelemento può interagire inoltre con elementi finite monodimensionali. A seconda del tipo di interazione che l’elemento scambia con la muratura, nel seguito si farà riferimento ai seguenti tipi di comportamento:

Asta libera: si tratta di elementi tipo beam, esterni alla muratura che interagiscono con  la  muratura  solo  puntualmente (ad  es.  travi  di  impalcati semplicemente ammorsate nelle pareti)

Frame interagente o cordolo: l’asta si trova inserita all’interno di una parete muraria ed interagisce con essa per tutta la sua lunghezza sia flessionalmente che assialmente.

Un elemento asta viene individuato dai due vertici di estremità denominati i e j. Il comportamento   meccanico   delle    aste    viene    caratterizzato   assegnando   un    legame


momento/curvatura e un legame sforzo normale/allungamento specifico. Entrambi i legami possono essere non lineari. Dal punto di vista flessionale, le modellazione delle progressive plasticizzazioni delle aste e, nel caso di elementi interagenti, dell’interazione con la muratura, viene ottenuta prevedendo la possibilità di suddividere lasta in un numero arbitrario di sottoelementi mediante l’introduzione di nodi intermedi che verranno disposti in corrispondenza delle molle flessionali dell’interfaccia.

MODELLAZIO N E  DI  UN AS T A  IN SE RITA  ALL INTE RN O  DE LL A  M U RA TURA

COMPORTAMENTO SPAZIALE

Per rendere in grado il macroelemento di cogliere meccanismi fuori‐piano, sono stati aggiunti tre gradi di libertà all’elemento, e le interfacce sono state modificate da uno sviluppo monoassiale sono passate ad uno biassiale.

GRA D I DI LI BE R T À E FORZE DUA L I FUORIPIAN O

L’interfaccia risulta quindi rappresentata meccanicamente da più file di molle non lineari ortogonali.

MODELLAZIO N E INT E R F ACCI A

In questa maniera è possibile cogliere i meccanismi di rottura del primo modo, che con il macroelemento piano era ovviamente impossibile analizzare


MEC CA NI S M I  DI  ROTTURA  DEL  PRIMO  MODO

Anche in questo caso, l’apertura delle fessure corrisponderà, nel modello discreto, alla rottura per trazione delle molle; la progressiva riduzione di rigidezza della sezione determinerà in definitiva il ribaltamento della parete. Tuttavia tali fenomeni fessurativi possono essere colti solo in corrispondenza degli elementi di interfaccia, appare quindi evidente che nello studio del comportamento fuori‐piano, più che nel piano, l’efficacia della modellazione risulta condizionata alla mesh utilizzata per discretizzare la parete. In quanto una maggiore discretizzazione della mesh consente di ampliare il dominio di ammissibilità cinematica dei meccanismi di primo modo potenzialmente attivabili.

Le molle ortogonali alle interfacce piane hanno il compito di regolare la risposta flessionale del pannello sia nel piano che fuori piano. Tuttavia, essendo il pannello dotato di tutti i gradi di libertà da moto rigido nello spazio, occorre introdurre degli elementi non lineari destinati al controllo dei meccanismi di scorrimento fuori piano del pannello. Pertanto in ogni interfaccia sono state inserite due molle contenute nel piano dell’interfaccia e dirette trasversalmente alla muratura, figura. Tali elementi controllano i meccanismi di scorrimento di scorrimento fuori‐ piano e sono state poste ad una distanza pari ad L/4 rispetto agli estremi dell’interfaccia in moto tale che ad ogni molla è attribuita la forza d’attrito corrispondente ad una superficie pari a mezza interfaccia.

Anche in questo caso l’interazione con altri elementi quali impalcati solai e beam in genere è demandata alle interfaccia, che non è più unica. Infatti a seconda del meccanismo considerato si ha una differente disposizione degli elementi non lineari e quindi una differenze interfaccia. Se si considera l’interazione flessionale, l’interfaccia sarà di tipo FlessInteraction, mentre se si considerano gli scorrimento sarà di tipo “SlideInteraction”.

Nel primo tipo di interfaccia tutte le molle flessionali vengono divise in un nodo intermedio che consente l’iterazione flessionale con i frame lungo tutto il pannello murario.

Il campo di spostamenti è definito dallo spostamento verticale

INTER FACCI A FL E SSIN T E R A C T I ON

Nel secondo caso, rispetto alle interfacce standard sono previsti nodi aggiuntivi a scorrimento nel piano e fuori piano. Ciascuna molla a scorrimento sarà sdoppiata in due molle distinte relativa ognuna ad un pannello.


INTER FACCI A S L I D EI NT ER AC T I ON

Come  nel  caso  precedentemente  studiato,  relativo  all’interazione  delle  pareti  piane,  i diaframmi possono essere rigidi o deformabili. In entrambi i casi, in aggiunta a quanto previsto nel caso del macro‐modello 2D, occorre simulare il meccanismo di scorrimento fuoripiano tra il  diaframma e  i  pannelli. Dal  punto di  vista della  modellazione ciò  viene reso  possibile dall’introduzione di una interfaccia SlideInteraction.

INT ER AZI O N E TRA MACR OE L E ME NT I E DI AFR A MM A

Nel caso di contemporanea presenza di un elemento frame e di un diaframma interagenti con la muratura, verrà inserita una interfaccia contemporaneamente di tipo FlessInteraction e SlidInteraction per modellare l’interazione a flessione tra la muratura e il frame, e l’interazione a scorrimento tra la muratura e il diaframma con il comportamento assiale del frame.

Per la modellazione degli ammorsamenti in corrispondenza di una intersezione tra due o più pareti vengono inseriti degli elementi speciali detti elementi speciali d’angolo”. Si tratta di elementi monodimensionali rigidi che possono essere orientati in maniera arbitraria nello spazio tridimensionale, e possono essere connessi ad un numero qualsiasi di altri elementi mediante interfacce 3D. Dal punto di vista geometrico gli elementi d’angolo sono individuati da due nodi che ne rappresentano i vertici; tutti i pannelli, appartenenti a qualsiasi parete, aventi un lato in comune con l’elemento d’angolo si riterranno interagenti con esso. Ad ogni elemento dangolo viene assegnato un sistema di riferimento locale definito in modo analogo a quanto fatto per le interfacce: asse 1 coincidente con lelemento, assi 2 e 3 ortogonali all’elemento e tali da formare una terna sinistrorsa.




La cinematica, nello spazio, è governata da cinque gradi di libertà coincidenti con le due traslazioni di ciascun vertice nelle direzioni degli assi 1 e 2 del sistema di riferimento locale dell’elemento, la traslazione lungo la direzione dell’elemento (asse 1 del sistema di riferimento locale) ed infine la rotazione attorno allo stesso asse.


1. 1.2. 6 M ETODO SA M

Questo metodo è stato introdotto da Magenes e Calvi nel 1996 ed elaborato nel corso degli anni.

La parete muraria è schematizzata tramite un telaio equivalente, composto da macroelementi di tipo beam con differenti caratteristiche secondo la funzione che devono svolgere.

Le tre categorie di macroelementi sono:

elementi deformabili ad asse verticale

maschi murari

elementi deformabili ad asse orizzontale

fasce di piano e cordoli

elementi nodo

I maschi e le fasce sono gli elementi deputati alla concentrazione delle deformazioni e dei danneggiamenti, mentre gli elementi nodo sono considerati infinitamente rigidi e resistenti, e sono modellati con opportuni bracci rigidi agli estremi dei maschi e delle fasce.

SCHE M A DI UNA PARET E MO D E L L AT A A TE L A IO EQU I V A L E NT E E L EL E M EN TO MAS C HI O

Ciascun   elemento   verticale   o   orizzontale   viene   rappresentato   come   un   elemento monodimensionale coincidente con l’asse baricentrico dello stesso, delimitato da nodi posizionati alle intersezioni del segmento con gli assi baricentrici degli elementi a cui è collegato. Ogni elemento deformabile del telaio equivalente è caratterizzato da un comportamento elastoplastico‐fragile con resistenza definita in funzione della risposta flessionale ed a taglio. L’adozione di bracci infinitamente rigidi per modellare le zone di nodo consentono di riprodurre la ridotta deformabilità di tali elementi.

Escludendo il comportamento fuori piano delle pareti, il modello prende in esame tutti i meccanismi di rottura nel piano della muratura.

ELEMENTO MASCHIO MURARIO

Il comportamento dell’elemento maschio viene supposto elasto‐plastico con limite in deformazione. Si suppone cioè che il maschio abbia comportamento lineare elastico finchè non viene verificato uno dei possibili criteri di rottura. La matrice di rigidezza in fase elastica assume la forma consueta per elementi di telaio con deformazione a taglio, e risulta determinata una volta definiti il modulo di Young E, il modulo G , e la geometria della sezione.

I maschi murari possono giungere a rottura nel piano secondo diverse modalità, ciascuna contraddistinta da un proprio valore di taglio ultimo Vu.

   Rottura per pressoflessione o ribaltamento.

Avviene quando il momento flettente M in una delle sezioni estreme della parte deformabile del  maschio  raggiunge  il  valore  ultimo,  corrispondente  allo  schiacciamento  della  zona


compressa della sezione. Nella sezione in cui viene raggiunto il momento ultimo viene introdotta una cerniera plastica (con ipotesi di comportamento perfettamente plastico).

   Rottura per taglio con fessurazione diagonale.

Avviene quando il taglio V nel maschio raggiunge il valore ultimo Vu inteso come il minore fra due valori associati rispettivamente alla fessurazione diagonale per cedimento dei giunti di malta, e alla fessurazione diagonale per rottura dei conci.

Nel caso di rottura per taglio, si suppone che nell’elemento abbiano luogo deformazioni taglianti plastiche come illustrato nella figura seguente,

COMPORTAMENTO  INE L A S TICO  IN  CA SO  DI  R O TTURA  PER  TA GL IO

in cui viene posto un limite alla deformazione angolare θ = ϕ + γ, oltre il quale la resistenza si annulla. La deformazione angolare θ è espressa come somma della deformazione flessionale ϕ e di quella a taglio γ.

   Rottura per taglio‐scorrimento.

Viene assunta nel caso in cui la rottura del maschio per scorrimento avvenga lungo un letto di malta in corrispondenza di una delle sezioni estreme della parte deformabile. La deformazione anelastica associata alla  rottura  per  scorrimento viene  modellata in  maniera analoga alla rottura per fessurazione diagonale

I  criteri  di  rottura sono  formulati in  modo  tale  per  cui  all’annullarsi della  compressione verticale si annulla sia la resistenza a flessione che la resistenza allo scorrimento. In aggiunta a ciò, si suppone anche che la rigidezza assiale del maschio si annulli in caso di deformazione di trazione, per cui l’azione assiale può assumere solo valori positivi (se di compressione) o nulli. Il maschio con azione assiale nulla risulterà quindi completamente scarico da ogni tipo di sollecitazione.

ELEMENTO FASCIA

L’elemento fascia è formulato in maniera analoga all’elemento maschio, ma vengono distinti solo due possibili criteri di rottura.

   Rottura per pressoflessione.

Il momento limite è espresso come nell’elemento maschio. Nella sezione in cui viene raggiunto il momento ultimo viene introdotta una cerniera plastica con ipotesi di comportamento perfettamente plastico.


   Rottura per taglio.

La resistenza a taglio della fascia viene espressa con criteri simili a quelli utilizzati per l’elemento maschio, tenendo conto però della diversa giacitura dei letti di malta rispetto alla linea d’asse dell’elemento e considerando che la compressione normale ai letti di malta al di sotto delle aperture è praticamente nulla. Al fine di tener conto della possibilità di un comportamento maggiormente fragile delle fasce, la deformazione anelastica associata alla rottura per taglio prevede una deformazione plastica a taglio costante a cui segue un degrado di resistenza ad un valore αVu, una volta superato un valore limite di deformazione angolare γ1. A tale degrado segue poi l’annullamento del taglio resistente per deformazioni angolari superiori al limite γ2.

COMPORTAMENTO  EL A S TO PL A S T I C O FRAGIL E  IN  CA SO  DI  ROTTURA  PER  TA GL IO

La possibilità di assegnare in ingresso i valori dei parametri α, γ1, γ2, consente di riprodurre comportamenti marcatamente fragili, ottenibili ad esempio facendo coincidere γ1 con il limite elastico, oppure più duttili e simili quindi al comportamento dei maschi.

1.2  ANA LI SI

L’analisi delle strutture soggette ad azione sismica può essere lineare o non lineare, statica o dinamica.

L’analisi lineare può essere utilizzata sia per sistemi dissipativi che non dissipativi. Nel caso di sistemi dissipativi le azioni sono calcolate sulla base di uno spettro di progetto che è ottenuto scalando il relativo spettro elastico per un dato valore di q  maggiore di 1. Il calcolo del valore q dipende da vari parametri quali il livello di duttilità attesa, la tipologia strutturale, il rapporto αu/α1 , dalla regolarità in pianta e da quella in altezza.

L’analisi non lineare è utilizzata per sistemi dissipativi. Le non linearità di cui tiene conto sono quelle geometriche e quelle del materiale. Se significative, i legami costitutivi devono tener conto della perdita di resistenza e della resistenza residua.

La differenza tra un tipo di analisi statica o dinamica, sta nel fatto che nel primo caso l’equilibrio è trattato staticamente, mentre nel secondo dinamicamente.

 
1.2.1  A NALISI  LINEARE  STATICA

L’analisi statica lineare consiste nell’applicazione di forze statiche equivalenti alle forze di inerzia indotte dall’azione sismica e può essere effettuata per costruzioni che rispettino i requisiti specifici riportati nei paragrafi successivi, a condizione che il periodo del modo di


vibrare principale nella direzione in esame (T1) non superi 2,5 TC o TD e che la costruzione sia regolare in altezza.

Per costruzioni civili o industriali che non superino i 40 m di altezza e la cui massa sia approssimativamente uniformemente distribuita lungo l’altezza, T1 può essere stimato, in assenza di calcoli più dettagliati, utilizzando la formula seguente:

dove H è l’altezza della costruzione, in metri, dal piano di fondazione e Cl vale 0,085 per costruzioni con struttura a telaio in acciaio, 0,075 per costruzioni con struttura a telaio in calcestruzzo armato e 0,050 per costruzioni con qualsiasi altro tipo di struttura.

L’entità delle forze si ottiene dall’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1 e la loro distribuzione sulla struttura segue la forma del modo di vibrare principale nella direzione in esame, valutata in modo approssimato.

La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è data dalla formula seguente:


dove:


Fh = Sd (T1 ) W λ/g

Fi                                  è la forza da applicare alla massa i‐esima;

Wi e Wj                               sono i pesi, rispettivamente, della massa i e della massa j;

zi e zj                                        sono le quote, rispetto al piano di fondazione delle masse i e j;

Sd(T1)               è l’ordinata dello spettro di risposta di progetto;

W                    è il peso complessivo della costruzione;

                    è   un   coefficiente  pari   a   0,85   se   la   costruzione  ha   almeno   tre orizzontamenti e se T1 < 2TC,pari a 1,0 in tutti gli altri casi;

g                     è l’accelerazione di gravità.


Per gli edifici, se le rigidezze laterali e le masse sono distribuite simmetricamente in pianta, gli effetti torsionali accidentali possono essere considerati amplificando le sollecitazioni su ogni

elemento resistente, attraverso il fattore () risultante dalla seguente espressione:


dove


x          è  la  distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico di piano, misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata;

Le                      è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.


Gli spostamenti de della struttura sotto l’azione sismica di progetto allo SLV si ottengono moltiplicando per il fattore μd i valori dEe ottenuti dall’analisi lineare, dinamica o statica, secondo l’espressione seguente:

dove


In ogni caso μd 5q – 4.

 
1.2.2  A NALISI  LINEARE  DINAMICA

L’analisi lineare dinamica, così come presentata nelle NTC, è condotta secondo tre passaggi fondamentali:

        determinazione  dei  modi  di  vibrare  “naturali”  della  costruzione  (analisi modale);

        calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati;

        combinazione degli effetti relativi a ciascun modo di vibrare.

L’analisi modale consiste nella soluzione delle equazioni del moto della costruzione, considerata elastica, in condizioni di oscillazioni libere (assenza di forzante esterna) e nella individuazione di particolari configurazioni deformate che costituiscono i modi naturali di vibrare di una costruzione. Questi modi di vibrare sono una caratteristica propria della struttura, in quanto sono individuati in assenza di alcuna forzante, e sono caratterizzate da un periodo  proprio  di  oscillazione  T,  da  uno  smorzamento  convenzionale  ,  caratteristiche proprie degli oscillatori elementari (sistemi dinamici ad un grado di libertà), nonché da una forma. Tranne che per casi particolari, quali quelli per esempio di costruzioni dotate di sistemi di isolamento e di dissipazione, si assume che i modi di vibrare abbiano tutti lo stesso valore dello smorzamento convenzionale pari al 5%

Qualunque configurazione deformata di una costruzione, e quindi anche il suo stato di sollecitazione, può essere ottenuta come combinazione di deformate elementari, ciascuna con la forma di un modo di vibrare. Ovviamente, in funzione dell’azione che agisce sulla costruzione, alcuni modi di vibrare avranno parte più significativa di altri nella descrizione della conseguente configurazione deformata. La massa partecipante di un modo di vibrare esprime la quota parte delle forze sismiche di trascinamento, e quindi dei relativi effetti, che il singolo modo è in grado di descrivere. Per poter cogliere con sufficiente approssimazione gli effetti dell’azione sismica sulla costruzione, è opportuno considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%, trascurando solo i modi di vibrare meno significativi in termini di massa partecipante.

L’utilizzo dello spettro di risposta consente di calcolare gli effetti massimi del terremoto sulla costruzione associati a ciascun modo di vibrare. Poiché durante il terremoto, tuttavia, gli

effetti massimi associati ad un modo di vibrare non si verificano generalmente nello stesso

istante in cui sono massimi quelli associati ad un altro modo di vibrare, tali effetti non possono essere combinati tra di loro mediante una semplice somma ma con specifiche regole di combinazione, di natura probabilistica, che tengono conto di questo sfasamento temporale.

Se il periodo di vibrazione di ciascun modo differisce di almeno il 10% da quello di tutti gli altri, la combinazione degli effetti relativi ai singoli modi può essere effettuata valutando la combinazione come radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS) degli effetti relativi a ciascun modo, secondo l’espressione:

con E valore combinato dell’effetto ed Ei valore dell’effetto relativo al modo i.


Tale regola deriva dall’ipotesi che i contributi massimi dei singoli modi non siano correlati e non si verifichino contemporaneamente. La possibilità che i massimi contributi modali siano correlati può essere tenuta in conto attraverso la combinazione quadratica completa (CQC):

con Ej  valore dell’effetto relativo al modo je ij  coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j calcolato secondo la seguente espressione:

con i j    smorzamento viscoso convenzionale rispettivamente del modo i e del modo j, e ij  il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i‐j di modi (ij = Tj/Ti).

 
1.2.3  A NALISI  NON  LINE ARE  STATICA

L’analisi di spinta, comunemente detta pushover (spingere‐oltre”), è un’insieme di analisi statiche che vanno ad interessare un modello i cui parametri, sia geometrici che meccanici, hanno la possibilità di essere modificati in funzione dei risultati delle analisi precedenti. In questa maniera si ha la possibilità di tener conto, anche se in maniera approssimata, delle non linearità del problema, che possono essere sia del materiale che geometriche.

I due aspetti fondamentali dell’analisi sono:

a‐   determinazione della curva di pushover, ovvero la rappresentazione del comportamento monotono del modello attraverso un diagramma forza‐spostamento, chiamato anche curva di capacità;

b‐ valutazione del performance point, ossia lo spostamento massimo raggiunto dalla struttura in funzione di uno spettro di risposta elastico in accelerazione rappresentante un ipotetico sisma.

L’applicazione dell’analisi non lineare statica ad una struttura a molti gradi di liber MDOF

deve seguire i seguenti passi:

   definizione di uno spettro di risposta compatibile con l’azione sismica attesa nel sito;

   definizione del modello matematico MDOF della struttura e  delle relative non linearità;

      esecuzione dell’analisi pushover;

   definizione del sistema ad un singolo grado di libertà SDOF equivalente;

   definizione del criterio per considerare gli effetti del comportamento ciclico della struttura;

   determinazione della risposta del sistema SDOF equivalente;

      conversione della risposta del sistema SDOF in quella del sistema MDOF;

   definizione dell’obiettivo prestazionale: stati limite corrispondenti ad un evento sismico di data intensità;



   verifica dell’accettabilità della risposta globale e locale.

1.2 . 3.1  D ESC R IZ IO NE

L’analisi pushover è stata formulata originariamente negli anni ’70 per i sistemi a singolo grado di libertà. La procedura consiste nell’applicare al sistema una forza od uno spostamento in modo incrementale monotono, fino al raggiungimento del collasso dello stesso. In questo modo si trova un legame forza‐spostamento, rappresentato dalla curva di capacità, che indica i


punti di equilibrio del sistema. In sostanza è una tecnica di soluzione incrementale‐iterativa delle equazioni di  equilibrio statico della struttura in  cui  la  forzante è  rappresentata dal sistema di spostamenti o forze applicato.

SISTEMI SDOF

L’idealizzazione comune di un sistema a singolo grado di libertà è quella di una massa m

sostenuta da un elemento con rigidezza k e privo di massa, che è collegato al suolo.

L’unico parametro identificativo della configurazione del sistema è quindi lo spostamento relativo della massa rispetto al suolo.

SCHEMATIZZAZ I ONE DI UN SIS TE M A AD UN GR A D O DI LI B E R T À

L’analisi consiste nell’applicare un sistema di spostamento D oppure di forze F, con intensità monotona crescente tramite i coefficienti α e β che variano da 0 ad un valore variabile finale.

D=αd

F=βf

con d e f fissati arbitrariamente.

Se la forzante applicata è D, ad ogni valore di α corrisponde un valore di taglio alla base Vb; se invece la forzante applicata è F, ad ogni valore di β corrisponde un valore di spostamento della massa Dt. Comunque in ambedue i casi è possibile disegnare la curva di capacità del sistema, Vb‐D, oppure F‐Dt.

SISTEMI MDOF

L’idealizzazione di questo tipo di sistemi a più gradi libertà è quella di un sistema complesso costituito da vari sistemi SDOF sovrapposti l’uno sull’altro.  Con questa schematizzazione è possibile modellare edifici multipiano come quello della figura successiva assegnando una massa mi per ogni piano, e definendo le rigidezza kj equivalenti che caratterizzeranno i tratti di collegamento tra le varie masse.

ESE MPIO  DI  A P PL ICAZION E  AD  UN  TEL A IO


I parametri utilizzati solitamente per la realizzazione della curva di capacità sono il taglio alla base Vb, e lo spostamento della massa di sommità, rappresentante lo spostamento del piano a quota più elevata Dt (non in tutti i casi però è il parametro caratteristico del sistema).

A differenza del caso di SDOF, la forzante è costituita da un profilo di spostamenti o forze

D=(D1  D2    Di    Dn)T                                                     F=(F1  F2    Fi    Fn)T

che possono essere definite da un vettore di forma d o f moltiplicato per un fattore di scala α o

β:

D=αd

F=βf

dove d=( d1   d2     di     dn) e Di=αdi è lo spostamento della massa i‐esima, oppure f=( f1   f2    fi   

fn) e Fi=βfi è la forza applicata alla massa i‐esima.

Se la struttura avesse un comportamento elastico, scegliere una forzante o l’altra porterebbe agli stessi risultati, ma la presenza di effetti anelastici porta a sensibili differenze tra i due casi. La scelta di uno o dell’altro approccio non è mai esente da errori quali l’incapacità di cogliere eventuali  comportamenti  softering  del  sistema  (se  si  utilizza  un  sistema  di  forze  come forzante), oppure vincolare  la struttura a deformarsi in un determinato modo che può portare a campi di forze completamente errati rispetto a quelli attesi in una struttura libera di deformarsi (se si utilizza un sistema di spostamenti). Comunque l’approccio maggiormente utilizzato è quello basato sulle forze.

CURVA DI CAPACITA’

Il risultato immediato di un’analisi pushover è la definizione della curva di capaci della struttura, ossia della relazione che lega il taglio alla base Vb  e lo spostamento del punto di controllo (di solito in sommità). Essa rappresenta la capacità del sistema di fronteggiare una certa azione esterna.

Di solito tutte le curve hanno in comune un tratto iniziale elastico, e quindi rettilineo, con inclinazione che varia a secondo della rigidezza iniziale del sistema. Al raggiungimento della soglia di snervamento del sistema i comportamenti principali non lineari possibili sono sostanzialmente tre: non lineare incrudente (i), non lineare perfettamente plastico (p) e non lineare degradante (d).

POSSIB IL I CUR V E DI CA P A C I TÀ DI UN SISTE M A RE AL E LINEARIZZAZIONE BIL I N E A R E

Questo vale sia nel caso di SDOF che di MDOF.

La capacità della struttura della struttura dipende dalle caratteristiche di resistenza e deformazione dei singoli componenti resistenti di cui è composta, ed è indipendente da qualsiasi richiesta sismica, infatti non si fa riferimento alcuno all’azione sismica.


Nei casi reali, per semplificare ulteriormente il problema, la curva di capacità viene linea rizzata in una bilatera equivalente come nell’immagine di esempio successiva.

PROFILI DI CARICO

I profili di carico hanno lo scopo di rappresentare la distribuzione delle forze inerziali indotte da un’azione esterna, di solito sismica nei casi che ci competono. Questa distribuzione varia a con il tempo e con l’intensità dell’azione sollecitante, quindi l’accuratezza della soluzione è influenzata dal tipo di profilo di carico scelto.

Le due categorie principali di profili di carico sono: fissi o invarianti e adattativi. Quelli fissi non modificano la propria distribuzione durante il corso dell’analisi, mentre quelli adattativi si.

Per strutture basse o medio‐alte la cui deformata è governata principalmente dal primo modo di vibrare e  gli effetti dei modi superiori sono minimi, l’uso di profili fissi porta ad una soluzione approssimata ma ancora comunque accettabile.

Il generico profilo di carico fisso può essere descritto con la seguente relazione:

  = Ψ  (  )


dove:


   è un vettore di forma costante che definisce landamento in altezza delle forze inerziali ;

    è  un  fattore  moltiplicativo  che  definisce  l’ampiezza  delle  forze  applicate  in funzione del passo t dellanalisi.


Nei casi più comuni di edifici bassi, abbastanza regolari e caratterizzati principalmente dal primo modo di vibrare è necessario eseguire l’analisi utilizzando due profili di carico fissi: il profilo di carico uniforme e il profilo di carico unimodale di primo modo.

Il profilo di carico uniforme è caratterizzato da forze di piano proporzionali alle masse di piano, ed esalta le richieste nei piani più bassi rispetto a quelle nei piani alti; accresce l’importanza delle forze di taglio di piano rispetto ai momenti ribaltanti:

Ψ = diag(M)       ossia    Ψi  = mi

Questa distribuzione è uniforme solo se tutte le masse di piano sono uguali.

Il profilo di carico unimodale di primo modo tiene conto della differente distribuzione di forze d’inerzia dovuta alla forma della deformata del primo modo di vibrare caratteristico della struttura, quindi il vettore di forma è definito così:

Ψ = MΦ             ossia            Ψi  = mi ϕ i


dove:


   M è la matrice diagonale delle masse sismiche di piani;

   mi è la massa sismica del piano i‐esimo;

       Φ    è la prima forma modale;

       ϕ i è il componente di Φ    al piano i‐esimo.


Questa distribuzione corrisponde alle forze inerziali che si sviluppano nella struttura in campo elastico.

1.2 . 3.2  A PPL IC AZI O NE

L’analisi non lineare statica consiste nell’applicare alla struttura i carichi gravitazionali e, per la direzione considerata dell’azione sismica, un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze d’inerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb.


Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle condizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione (sono esclusi eventuali torrini). Il diagramma Fb dc rappresenta la curva di capacità della struttura.

Questo tipo di analisi può essere utilizzato soltanto se ricorrono le condizioni di applicabilità nel seguito precisate per le distribuzioni principali (Gruppo 1); in tal caso esso si utilizza per gli scopi e nei casi seguenti:

valutare i rapporti di sovraresistenza u/1;

verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di struttura q;

come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione sostitutivo dei metodi di analisi lineari;

come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti.

Si devono considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle distribuzioni principali (Gruppo  1)  e  l’altra nelle  distribuzioni secondarie (Gruppo  2)  di seguito illustrate.

Gruppo 1 Distribuzioni principali:

   distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);

   distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;

      distribuzione  corrispondente  alla  distribuzione  dei  tagli  di  piano  calcolati  in

un’analisi  dinamica  lineare,  applicabile  solo  se  il  periodo  fondamentale  della struttura è superiore a TC.

Gruppo 2 Distribuzioni secondarie:

   distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;

   distribuzione adattiva,  che  cambia  al  crescere  dello  spostamento del  punto  di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.

L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà.

Questo metodo d’analisi è utilizzabile solo per costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto considerata è governato da un modo di vibrare naturale principale, caratterizzato da una significativa partecipazione di massa.

1.2 . 3.3  V ERIF IC A  DI  SI CU RE ZZA

Per le strutture in muratura, la verifica di sicurezza consiste nel confronto tra la capacità di spostamento ultimo della costruzione e la domanda di spostamento.

Lo Stato Limite Ultimo in spostamento del sistema è definito nel paragrafo della Circolare applicativa C.8.1.5.4 come “spostamento corrispondente ad una riduzione della forza non superiore al 20% del massimo.


La domanda di spostamento si trova seguendo il metodo illustrato in normativa al paragrafo

7.3.4.1 e si basa sull’ipotesi che la risposta trovata per il sistema MDOF possa essere correlata a

quella di un sistema SDOF equivalente. Attraverso questa semplificazione è possibile ricavare lo spostamento massimo che il SDOF deve sopportare a fronte di uno spettro di risposta elastico, e quindi calcolato questo risalire allo spostamento massimo del sistema reale.

SISTE M A E DI A G R A MMA BI LI N E AR E EQU I V A L E NT E

La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale dalle relazioni:

  =  b

d = dc

dove è il “fattore di partecipazione modale” definito dalla relazione:

p   MT


dove:


Γ = p   Mp


   il vettore è il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma considerata;

   il  vettore   è  il  modo  di  vibrare  fondamentale del  sistema  reale  normalizzato ponendo dc = 1;

   la matrice M è la matrice di massa del sistema reale.

SPOSTAM ENTO DI RIFE RIM ENTO PER T >T C  E PER T T C

max

 

max                

 
Una volta trovata la domanda in spostamento d         per lo stato limite in esame si moltiplica per Γ  e si verifica che sia d       Γ < d   .

Nei casi di muratura ordinaria o armata in cui non sia considerato il principio della gerarchia delle resistenze la norma ci impone di controllare che il rapporto tra il taglio totale agente sulla base del sistema equivalente ad un grado di libertà calcolato dallo spettro di risposta elastico ed il taglio alla base resistente del sistema equivalente ad un grado di libertà ottenuto dall’analisi non lineare ecceda il valore 3,0. Se questo non avviene la verifica non può considerarsi soddisfatta.

 
1.2.4  A NALISI  NON  LINE ARE  DINAMICA

L’analisi non lineare dinamica consiste nel calcolo della risposta sismica della struttura mediante integrazione delle equazioni del moto, utilizzando un modello non lineare della struttura e gli accelerogrammi definiti al § 3.2.3.6 delle NTC2008. Essa ha lo scopo di valutare il comportamento dinamico della struttura in campo non lineare, consentendo il confronto tra duttilità  richiesta  e  duttilità  disponibile  nonché  di  verificare  l’integrità  degli  elementi strutturali nei confronti di possibili comportamenti fragili.

L’analisi dinamica non lineare deve essere confrontata con una analisi modale con spettro di risposta di progetto, al fine di controllare le differenze in termini di sollecitazioni globali alla base delle strutture.

Nel caso delle costruzioni con isolamento alla base l’analisi dinamica non lineare è obbligatoria quando il sistema d’isolamento non può essere rappresentato da un modello lineare equivalente.


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