Cenni di geometria proiettiva

La geometria proiettiva è una branca molto importante della geometria, si può persino dire che la geometria analitica come si studia normalmente non è che un caso molto particolare della geometria proiettiva, che quindi costituisce una teoria molto più generale.

Come si può capire dal nome la geometria proiettiva è la geometria che studia le proiezione di figure, storicamente è come studio del disegno prospettico, anche se evolvendosi è diventata una teoria a parte. La particolarità della geometria proiettiva è abbiamo detto che è molto generale, vediamo come una geometria può essere più generale di un'altra. Nella geometria analitica, per esempio due triangoli identici, ma messi in posizioni diverse sono veramente diversi, mentre nella geometria euclidea essi sono del tutto identici, tuttavia anche nella geometria euclidea, per esempio, un quadrato è diverso da un rettangolo. La geometria proiettiva ha carattere molto più generale, due figure sono dette proiettivamente equivalenti, cioè nella geometria proiettiva sono di fatto uguali, se si può passare da una all'altra mediante una trasformazione proiettiva. Per trasformazione proiettiva si intende una vasta gamma di trasformazioni, per esempio se noi abbiamo un disco circolare e proiettiamo la sua ombra su un muro essa, in generale, non sarà circolare (lo sarà solo se il disco è perpendicolare ai raggi di luce, vedi coniche), ma assumerà la forma di una conica, quale conica dipenderà dall'inclinazione del disco. Questo tipo di trasformazione è una trasformazione proiettiva, e dato che permette di passare da una conica all'altra si deduce che in geometria proiettiva le coniche sono tutte equivalenti, questo vale anche per una qualsiasi quadrilatero.

Si può costruire una geometria proiettiva analitica, cioè con tutti i punti espressi mediante coordinate, ma ciò è molto complesso, quindi non lo approfondiamo.

Abbiamo visto che in geometria proiettiva tutte le coniche sono equivalenti, così come lo sono tutti i quadrilateri, e rette parallele e perpendicolari possono essere trasformate con una trasformazione proiettiva in rette che, in generale, non sono più parallele e perpendicolari, anche gli angoli e la lunghezza di segmenti può variare, ma allora che cosa ci permetti di riconoscere la nuova figura come una trasformazione dell'originale, quali caratteristiche, cioè, rimangono immutate? Questo è l'argomento di una parte della della geometria proiettiva, le così dette configurazioni.