Le geometrie non euclidee

Le geometrie non euclidee

La crisi delle certezze

Dagli anni '80 del XIX secolo la concezione positivistica che aveva pervaso tutto il periodo post-rivoluzionario entra in crisi. In arte incontriamo il rinnovamento di Monet e Manet, che non rappresentano più la realtà in sé stessa, bensì l'impressione retinica che percepisce il nostro occhio. In letteratura si trova il Decadentismo, movimento che vede con Pascoli e il suo "fanciulletto" la piena realizzazione. In filosofia si aprono nuove vie grazie alla visione antisistematica e nichilista di Nietzsche ed il vitalismo di Bergson. La rivoluzione medica di Freud, la psicoanalisi, fa riflettere l'umanità con risvolti sia medici che filosofici. Infatti la nostra mente non appare più come imperturbabile, ma anzi, reale essenza del nostro essere. Il progresso scientifico affiora in questi anni grazie alla "teoria della Relatività" di Albert Einstein e alle geometrie non euclidee.

La critica del V° postulato

La certezza del sistema matematico antico che viene scardinata è il V° postulato di Euclide, il postulato delle rette parallele. Esso, espresso in varie forme, può essere così riassunto:

Data una retta ed un punto ad essa esterna esiste una ed una sola retta parallela alla retta data.

Oppure:

Se due rette intersecanti da una trasversale formano angoli coniugati la cui somma è un angolo piatto, allora le due rette non si intersecano.

La confutazioni di questa legge non è nuova del XIX secolo. Lo stesso Euclide non riuscì a dimostrarla e così la tenne lontano dal suo edificio matematico il più possibile, ricorrendone solo n caso estremo. Nel Seicento si tentò più volte di dimostrarlo partendo dai primi quattro assiomi, ma con scarsi risultati.

Fu così che nel 1826, il matematico russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij introdusse il suo approccio filosofico al V° postulato in una teoria matematica. Egli sosteneva che se si trascurava lo sfondo comune e si estrapolava la teoria matematica dalla realtà si riuscivano a cogliere due rette parallele ad ogni retta data. Infatti, dato un punto P esterno alla retta principale, da esso si possono tracciare infinite rette che tendono alla parallela. Una volta trovata quest'ultima, tendendo dalla parte destra, si può compiere un processo identico se si tende alla retta parallela non più da destra ma da sinistra. Così facendo le rette parallele risultano essere due e non più una singola. La geometria che venne a creare Lobacevskij aveva risvolti molto più importanti nei triangoli. Egli infatti arrivò a descrivere la somma interna degli angoli di un triangolo non più con 180°, ma con 180° - k, dove k rappresenta il difetto, un numero non negativo che dipende dalle dimensioni dei lati. La geometria iperbolica di Lobacevskij sembra essere totalmente dalla geometria di Euclide. Tuttavia il difetto k è apprezzabile solo per grandi dimensioni, non di scala quotidiana, ma ad esempio di scala cosmica. Questa risulta essere così una generalizzazione della geometria euclidea, dove k tende a zero per distanze minime, quali siamo abituati a concepire.

Indipendentemente da Lobacevskij, un giovane ufficiale ungherese, Jànos Bolyai, pubblicò nel 1832, un articolo dove rinunciava al principio di unicità delle rette parallele. Entrato in contatto con Karl Friedrich Gauss, il principe della matematica, condivise le sue idee. Queste ultime furono conferma ai lavori di Gauss che li pubblicò lasciando in disparte Bolyai. Da questo momento la sua salute mentale viene meno fino al suicidio. Importante è sottolineare, oltre al furto intellettuale e la mancata consacrazioni di Bolyai, che in quel periodo tre diversi matematici di te diversi stati si stavano occupando dello stesso argomento, sintomo di un rinnovamento dall'interno.

Da questo momento le geometrie di avanguardia non furono più una semplice moda, ma divennero oggetto di indagine sistematica, che portò alla luce vari  altri modelli, tra cui quello fondamentale di Riemann. Il suo modello di geometria, definita sferica o ellittica, parte dalla concezione che non esistano rette parallele tra loro. Se con Lobacevskij cade l'unicità con Riemann cade l'esistenza di ogni retta parallela: ogni retta condotta da un punto esterno la intersica in un punto. Conseguenza di questa nuova idea del postulato è un nuovo approccio ai triangoli. Se con Lobacevskij gli angoli interni avevano somma minore di 180°, ora l'hanno maggiore. Il difetto k in questo caso va sommato agli angoli e forma così più di un angolo piatto. Il risvolto più importante della geometria sferica è senza dubbio la Relatività di Einstein. Agli inizi del '900, non trovando una geometria che spiegassi i suoi modelli di curvatura dello spazio, Einstein fu indirizzato dall'amico Grossmann alla geometria sferica, che fu subito accolta e sfruttata. In tale geometria infatti la linea che congiunge due punti non è più una retta, bensì una curva, definita geodetica, che corrisponde all'arco di circonferenza massimo passante per i due punti.